2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={12}，则A∪B=（）A.{12,1，0}B.{−1,12}C.{12,1}D.{−1,12,1}2.已知向量𝑎⃗⃗，𝑏⃗满足𝑎⃗⃗=3，𝑏⃗=2√3，且𝑎⃗⃗⊥（𝑎⃗⃗+𝑏⃗），则𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为（）A.𝜋2B.2𝜋3C.3𝜋4D.5𝜋63.已知A是△ABC的内角且sinA+2cosA=-1，则tanA=（）A.−34B.−43C.34D.434.若当x∈R时，函数f（x）=ax始终满足0＜f（x）≤1，则函数y=loga1𝑥的图象大致为（）A.B.C.D.5.将函数f（x）=sin（ωx+𝜋4）（ω＞0）的图象向左平移𝜋8个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（）A.𝜋9B.𝜋5C.𝜋D.2𝜋6.已知f（x）={𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝛽),𝑥0𝑐𝑜𝑠(𝑥+𝛼),𝑥≥0是奇函数，则α，β的可能值为（）A.𝛼=𝜋，𝛽=𝜋2B.𝛼=0，𝛽=𝜋2C.𝛼=𝜋2，𝛽=𝜋D.𝛼=𝜋2，𝛽=𝜋27.设函数f（x）=𝑥2−1𝑥，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范围是（）A.(12,1)B.(−∞,13)∪(1,+∞)C.(13,12)∪(12,1)D.(−∞,0)∪(0,13)∪(1,+∞)8.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=1，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2，∠AOB=60°，𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，λ+2μ=2，则𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗在𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗上的投影（）A.既有最大值，又有最小值B.有最大值，没有最小值C.有最小值，没有最大值D.既无最大值，双无最小值9.在边长为1的正△ABC中，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=y𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗，x＞0，y＞0且x+y=1，则𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗•𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为（）A.−58B.−34C.−38D.−3210.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），当x∈[0，1时f（x）=x2，则函数g（x）=sin（πx）-f（x）在区间[-1，3上的所有零点的和为（）A.6B.7C.8D.10二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.函数f（x）=√𝑙𝑜𝑔2(𝑥−1)的定义域是______．12.计算：2−1+𝑙𝑜𝑔23=______；若2a=3b=√6，a，b∈R，则1𝑎+1𝑏=______．13.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（2，3），𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（-1，）．若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，则=______；若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为钝角，则的范围为______．14.已知函数f（x）=cos（2π-𝜋3），则f（3𝜋4）=______；若f（𝑥2）=13，x∈[-𝜋2，𝜋2，则sin（x-𝜋3）=______．15.向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为𝜋3，若对任意的t∈R，𝑎⃗⃗−𝑡𝑏⃗的最小值为√3，则𝑎⃗⃗=______．16.已知函数f（x）={𝑎𝑥+2𝑎+2,𝑥2−𝑥+5,𝑥≤2，其中a＞0且a≠1，若a=12时方程f（x）=b有两个不同的实根，则实数b的取值范围是______；若f（x）的值域为[3，+∞，则实数a的取值范围是______．17.若任意的实数a≤-1，恒有a•2b-b-3a≥0成立，则实数b的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知𝑎⃗⃗=（cosx，sinx），𝑏⃗=（1，0），𝑐⃗=（4，4）．（Ⅰ）若𝑎⃗⃗∥（𝑐⃗-𝑏⃗），求tanx；（Ⅱ）求𝑎⃗⃗+𝑏⃗的最大值，并求出对应的x的值．19.已知函数f（x）=Asin（x+𝜋4），若f（0）=√62．（Ⅰ）求A的值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．（i）写出g（x）的解析式和它的对称中心；（ii）若α为锐角，求使得不等式g（α-𝜋8）＜√32）成立的α的取值范围．20.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜𝜋2），角φ的终边经过点P（1，-√3）．若A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是f（x）的图象上任意两点，且当f（x1）-f（x2）=4时，x1-x2的最小值为𝜋3．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在x∈[0，π上的单调递减区间；（Ⅲ）当x∈[𝜋18，m时，不等式f2（x）-f（x）-2≤0恒成立，求m的最大值．21.已知函数f（x）=log4（22x+1）+mx的图象经过点p（32，-34）+log23．（Ⅰ）求m值并判断的奇偶性；（Ⅱ）设g（x）=log4（2x+x+a）f（x），若关于x的方程f（x）=g（x）在x∈[-2，2上有且只有一个解，求a的取值范围．22.定义在R上的函数f（x）=ax2+x．（Ⅰ）当a＞0时，求证：对任意的x1，x2∈R都有12[f（x1）+f（x2）≥𝑓(𝑥1+𝑥22)成立；（Ⅱ）当x∈[0，2时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=14，点p（m，n2）（m∈，n∈）是函数y=f（x）图象上的点，求m，n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则2a=，即a=-1，且b=，故A={1，}，B={，-1}，故A∪B={-1，，1}，故选：D．根据A∩B={}，求出a，b的值，进而可得答案．本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设与的夹角为θ，∵⊥（），则•（）=0，∴2+•=0，即2+••cosθ=0，又∵=3，=2，∴32+3×2•cosθ=0，则cosθ=-，又∵θ∈[0，π，∴θ=，故与的夹角为．故选：D．设与的夹角为θ，根据⊥（），则有•（）=0，利用向量的运算性质，即可求出cosθ=-，结合向量夹角的取值范围，即可求得答案．本题考查了数量积求两个向量的夹角，数量积判断两个向量的垂直关系．根据数量积的定义可以求解两个向量的夹角，注意两个向量的夹角要共起点所形成的角，熟悉向量夹角的取值范围为[0，π，其中夹角为0时，两向量同向，夹角为π时，两向量反向．两个向量互相垂直，则其数量积为0．属于中档题．3.【答案】A【解析】解：由，解得或．∵A是△ABC的内角，∴，则tanA=．故选：A．利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和cosA的值，可得tanA的值．本题考查同角三角函数的基本关系，是基础的计算题．4.【答案】B【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=ax始终满足0＜f（x）≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=logax的图象：黑颜色的图象．而函数y=loga=-logax，其图象如红颜色的图象．故选B．由于当x∈R时，函数f（x）=ax始终满足0＜f（x）≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=logax的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=logax，而函数y=loga=-logax，即可得出图象．本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．5.【答案】D【解析】解：将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，可得y=sin（ωx++）的图象，根据所得到的函数图象关于y轴对称，可得+=π+，即ω=8+2，∈．∴函数的最小正周期为=，则函数f（x）的最小正周期不可能是2π，故选：D．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，求得函数的最小正周期为，由此得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性和周期性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）=是奇函数，则f（0）=cosα=0，解可得α=π+，若x＞0，则-x＜0，则cos（x+α）=sin（-x+β），变形可得：sinβ=cosα，则β=π，分析可得：C符合；故选：C．根据题意，由奇函数的定义可得f（0）=cosα=0，解可得α的值，进而假设x＞0，则-x＜0，则cos（x+α）=sin（-x+β），变形可得β的值，据此分析选项即可得答案．本题考查函数奇偶性的定义，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：；∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；∴由f（x）＞f（2x-1）得，，或；解得；∴x的取值范围是．故选：A．可得出，从而可判断出f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，这样即可由f（x）＞f（2x-1）得出，或，解出x的范围即可．考查分段函数单调性判断，一次函数和反比例函数的单调性，以及含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，函数单调性定义．8.【答案】B【解析】解：根据题意得：在上的投影为==①∵λ+2μ=2∴λ=2-2μ代入①得=令2-μ=t得μ=2-t，代入得当t＞0时，原式=有最大值，当t＜0时，①式无最小值故选：B．运用向量投影的知识可解决．本题考查平面向量基本定理的简单应用．9.【答案】C【解析】解：由题意得=（）•（），∵=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）•（），=（）•（）=-1+，∵x＞0，x＞0，x+y=1，∴xy，∴-1+=-1+，当且仅当x=y=时，取等号，∴当x=y=时，•的最大值为-．故选：C．=（）•（），=（）•（）=-1+，由此能求出当x=y=时，•的最大值为-．本题考查向量知识的运用，考查向量的加法，考查向量的数量积，考查基本不等式的运用，综合性强．10.【答案】A【解析】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x），即有f（-x）=f（x）=f（2-x），即f（x+2）=f（x），可得f（x）的最小正周期为2，当x∈[0，1时f（x）=x2，可得x∈[-1，0时，f（x）=x2；由g（x）=0，可得sin（πx）=f（x），作出y=f（x）和y═sin（πx）在区间[-1，3上的图象，可得它们有6个交点，设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，可得x1+x3=0，x4+x6=4，x2=0，x5=2，则所有零点的和为6．故选：A．根据条件判断函数f（x）的周期性，令g（x）=0，得sin（πx）=f（x），分别作出y=f（x）和y═sin（πx）在区间[-1，3上的图象，利用图象判断两个函数的交点情况，即可得到所求和．本题主要考查函数零点的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键．11.【答案】[2，+∞）【解析】解：要使原式有意义，须有log2（x-1）≥0且x-1＞0，即log2（x-1）≥log21且x-1＞0∵u=log2（x-1）为增函数，∴x-1≥1，∴x≥2．故答案为：[2，+∞）使该函数有意义，需要对数的真数大于0，同时需要根号下的代数式大于等于0，．本题考查了函数定义域的求法，解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意义，属基础题．12.【答案】322【解析】解：①2==；②若2a=3b=，a，b∈R，则，b=．+===2．故答案为：；2．利用指数与对数运算性质即可得出大小关系．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】±2√3＜23且≠-32【解析】解：∵已知=（2，3），=（-1，），若=，则4+9=1+2，求得=±2．若，的夹角为钝角，则＜0，且与不平行，即-2+3＜0，且≠，求得＜，且≠-，故答案为：=±2，＜，且≠-．由题意利用两个向量模的计算公式求得的值，再利用两个向量共线的性质求得的范围．本题主要考查两个向量模的计算公式，两个向量共线的性质，属于基础题．