第四讲数学美的几种类型

美的不同表现形式有不同的形容：壮美、俊美、秀美、柔美、优美数学美也呈现多样性，我们分为：简洁美、对称美、和谐美和奇异美。简洁美是人们最欣赏的一种美，在艺术、建筑、徽标等的设计中最为常见。中国画更是体现了简洁美。数学以简洁而著称！•大数和小数的表示：10221，286243，10-900•数的表示：所有数均可由1,2,3,5,6,7,8,9,0表示.(称为阿拉伯数字,但是由印度人发明的.由阿拉伯人传到西方.)形式上和位置上意义非凡,绝妙非常.实际上,0的出现大约要晚好几百年.2362362306“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它之所以绝妙非常，正是由于这种简易的难以估量。以伟大的希腊学问的天才者——阿基米德和阿波罗尼奥斯——对这种思想的停滞未现为例，我们显然看出其引进之多么的不易！”——法国一著名数学家（１８世纪）简洁美的发展过程:以235×4=940为例罗马人的算法:X:10,L:50,C:100,D:500,M:1000XL:40,LX:60,XC:90,CX:110CM:900,MC:1100CCXXXVIVCCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVVDCCCCXXXXCMXL表示900表示40十进制与二进制:十进制:8989=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20二进制:1011001十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人工运算,但系统复杂.二进制:符号少(2),表示上麻烦,方便机器运算,但系统简单.二进制与最简单的自然现象(信号的两极)结合,造就了计算机！其它符号的简洁美：未知量：已知量：π,e,a,b,c函数关系：f(x)形状符号：,,,xyz其它符号的简洁美：运算符号：关系符号:,d，，，，sin,cos,dx,,,,,,,,,,,,,,,,,,1220,(),FvcdFmvdtmmFkr牛顿第一定律牛顿第二定律，万有引力定律函数与逻辑：lim(),lim,ln()lim1.lnxxxxxxxxx几何：点对称、线对称、面对称、球对称。球面被认为最完美！代数与函数论：共轭数（共轭复数、共轭空间）。运算：交换律、分配律，函数与反函数运算。二项式定理的展开式中的系数构成的杨辉三角形：1112113311464115105111112113311464115101051161520156711235813指数运算与对数运算的对称性:集合运算中的对称性:1111loglogniiinniiiinxxixxeeAB=ABAB=AB命题变换中：命题逆命题否命题逆否命题zoxyO2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆kzckbyax2222221当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c时,椭圆退缩成点.椭球面1用平面z=0去截割,得椭圆012222zbyax1222222Czbyax双叶双曲面1222222czbyaxxyo1222222czbyax1222222czbyax0222222czbyax单叶：双叶：...yxzo在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面zqypx2222（与同号）pq双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：xyzo统一与和谐美是数学美的又一侧面，它比对称美具有广泛性。以几何与代数的和谐与统一的表现为例：行列与矩阵平面上过点(x1,y1),(x2,y2)的直线方程:11221101xyxyxy平面上过点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的圆方程:2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy22020axbycaxbxycydxeyf平面上所有直线一般形式：平面上所有二次曲线一般形式：,,ahbdbcedeacfabbc，是平移其性质和类型取决三和旋转变换下不个量：变的量。1.0,0,;0,0,;0为椭圆为双曲线;=0为抛物线.2.=0,为椭圆为相交两直线;=0平行或重合两直线圆锥曲线的极坐标统一公式:复数的指数形式公式:三角函数的化简公式最终统一到两角和的余弦公式:1cospe10iecos()coscossinsin奇异：稀罕、出呼意料但有引人入胜！奇异的东西能引起你的兴趣,也能引起你研究的兴趣,又从研究之中看到奇异深处所隐藏的东西,这样,你就会更加喜欢它,就更可能产生美的感受.没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇特.———培根“黄山归来不看岳”黄山美在：奇峰异石，悬岩峭壁，深谷幽壑，古松苍柏，清泉碧潭。更令人赞叹的是：登山路径的险峻，危阶于级，形同壁立，可谓是“半山古刹，云端挂天梯”。10.166666666666666666666610.14285714285714285714285779876543218.7296633912345678960368495493532699000000000000114702300090331010100310100:987654321987654312998123456789123456789123456789123456789999191012345678910911098765432191891012345678910nnnn而且而所以2222222333:,2,xyzxabyabzababxyz勾股定理有非零的正整数解:3,4,5;5,12,13.其一般解为:其中为一奇一偶的正整数.那么,3次不定方程:有没有非零的正整数解?:2!,..300.nnnxyzn此即为著名的当时没有正整数解费马在一本书的边上写道他已经解决了这个问题但是没有留下证明在此后的年一直是一马猜想个悬念费18世纪最伟大的数学家欧拉(Euler)证明了n=3,4时费马定理成立；后来，有人证明当n105是定理成立。20世纪80年代以来，取得了突破性的进展。1995年英国数学家AndrewWiles的108页论文解决了费马定理。他1996年获wolf奖，1998年获Fielz奖。121:4?nnnnnnnxxxx推广时不定方程是否有非平凡整数解三公式的奇异性0,()1,xQfxxQ周期函数2:21,nnF费尔马素数公式222:()17,()41,()11,fnnnfnnnfnnn素数产生公式地球半径为R，一根恰好可以绕地球赤道一周的绳子，再接长１５米后，绕赤道一周悬在空中，则在赤道的任何地方，一个身高2.39米人可以从绳子下自由穿过。四抽象美