基本求导积分公式

1/24基本求导积分公式f'(c)=0f'(x^n)=nx^(x-1)f'(1/x)=-1/x^2f'(√x)=1/2√xf'(㏑x)=1/xf'(㏒ax)=1/x㏑a（a为底）f'(a^x)=a^x*㏑af'(e^x)=e^xf'(sinx)=cosxf'(cosx)=-sinxb5E2RGbCAPf'(tanx)=(sec^2)x=1/(cos^2)xf'(cotx)=-(csc^2)x=-1/(sin^2)xf'(secx)=cesx*tanxf'(cscx)=-cscx*cotxf'(arcsinx)=1/√(1-x^2)f'(arccosx)=-1/√(1-x^2)f'(arctanx)=1/1+x^2p1EanqFDPw在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』DXDiTa9E3d2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。RTCrpUDGiT2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。3.y=a^x,5PCzVD7HxA⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x2/24如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/βjLBHrnAILg显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。xHAQX74J0X把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。LDAYtRyKfE可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/xZzz6ZB2Ltk因为当⊿x→0时，⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有dvzfvkwMI1lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x。可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。5.y=sinxrqyn14ZNXI⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxEmxvxOtOcoy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x8.y=cotx=cosx/sinxSixE2yXPq53/24y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x9.y=arcsinxx=sinyx'=cosy6ewMyirQFLy'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^210.y=arccosxx=cosyx'=-sinykavU42VRUsy'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^211.y=arctanxx=tanyx'=1/cos^2yy6v3ALoS89y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^212.y=arccotxx=cotyx'=-1/sin^2yM2ub6vSTnPy'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与4.y=u土v,y'=u'土v'5.y=uv,y=u'v+uv'1．基本求导公式0YujCfmUCw⑴(C)'=0（C为常数）⑵(x)'=nxnn-1；一般地，(x)'=αxαα-1。2特别地：(x)'=1，(x)'=2x，()'=-1x114/24'(x)=，。x22x⑶(e)'=e；一般地，(a)'=alna(a0,a≠1)。⑷(lnx)'=eUts8ZQVRdxxxx11(a0,a≠1)。；一般地，(logax)'=xxlna2．求导法则⑴四则运算法则设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)；（Ⅱ）(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)，特别(Cf(x))'=Cf'(x)（C为常数）；（Ⅲ）(sQsAEJkW5Tf(x)f'(x)g(x)-f(x)g'(x)1g(x))'=g2GMsIasNXkA(x),(g(x)≠0)，特别(g(x))'=-g'(x)g2(x)。3．微分函数y=f(x)在点x处的微分：dy=y'dx=f'(x)dx4、常用的不定积分公式TIrRGchYzgα1α2⎰xdx=+1+c,xx321）α+1x+C(α≠-1),⎰dx=x⎰xdx=2+c,⎰xdx=（3；⎰x37EqZcWLZNXdx=x44+c1ax（2）⎰xdx=ln|x|+C；⎰exdx=ex+C；⎰axlzq7IGf02Edx=5/24lna+C(a0,a≠1)；（3）⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx（k为常数）5、定积分⎰baf(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a)⑴⎰bbba[k1f(x)+k2g(x)]dx=k1⎰af(x)dx+k2⎰ag(x)dx⑵分部积分法设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数u'(x),v'(x)，则⎰bau(x)dv(x)=u(x)v(x)bb6/24a-⎰av(x)du(x)6、线性代数特殊矩阵的概念⎡100（1）、零矩阵O2⨯2=⎡⎢00⎤⎢⎤⎣00⎥,⎦（2）、单位矩阵In=⎢010⎥⎢⎥二阶I⎡12⨯2=⎢⎥⎢⎣0⎣001⎥⎦⎡⎢a100⎤⎡212⎤(3)、对角矩阵A=⎢0a20⎥⎢⎥(4)、对称矩阵a=a,A=⎢ijji⎢1-3-5⎥⎥⎢⎥⎣000a⎥⎢⎣2-57⎥⎦n⎦0⎤1⎥⎦,⎡a11⎢0(5)、上三角形矩阵A=⎢⎢⎢⎣0⎡a11⎢a21(6)、矩阵转置A=⎢⎢⎢⎣an16、矩阵运算A+B=⎢a1n⎤⎡a100⎤⎢0a0⎥a22a2n⎥2⎥下三角形矩阵A=⎢⎥⎢⎥⎥7/24⎥⎢⎥00ann⎦⎣000an⎦a1n⎤⎡a11⎢aa2n⎥T⎥转置后A=⎢12⎢⎥⎥⎢ann⎦⎣a1na21an1⎤a22an2⎥⎥⎥⎥a2nann⎦a12a12a22an2⎡ab⎤⎡e⎥+⎢gcd⎣⎦⎣f⎤⎡a+eb+f⎤=⎢⎥h⎥c+gd+h⎦⎣⎦⎡ab⎤⎡eAB=⎢⎥⎢⎣cd⎦⎣g7、MATLAB软件计算题f⎤⎡ae+bgaf+bh⎤=⎢⎥⎥h⎦⎣ce+dgcf+dh⎦例6试写出用MATLAB软件求函数y=x+x2+ex)的二阶导数y''的命令语句。解：clear;zvpgeqJ1hk8/24symsxy;y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数y=x+ex)的一阶导数y'的命令语句。clear;symsxy;y=log(sqrt(x)+exp(x));dy=diff(y)例11试写出用MATLAB软件计算定积分解：clear;symsxy;y=(1/x)*exp(x^3);int(y,1,2)例试写出用MATLAB软件计算定积分NrpoJac3v1⎰121x3edx的命令语句。x⎰1x3edx的命令语句。x解：clear;symsxy;y=(1/x)*exp(x^3);int(y)MATLAB软件的函数命令表1MATLAB软件中的函数命令运算符号典型例题9/24例1设某物资要从产地A1，A2，A3调往销地B1，B2，B3，B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：1nowfTG4KI运输平衡表与运价表（1）用最小元素法编制的初始调运方案，（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，并计算最低运输总费用。解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：运输平衡表与运价表找空格对应的闭回路，计算检验数：λ11＝1，λ12＝1，λ22＝0，λ24＝－2已出现负检验数，方案需要调整，调整量为1调整后的第二个调运方案如下表：fjnFLDa5Zo运输平衡表与运价表求第二个调运方案的检验数：λ11＝－1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为2调整后的第三个调运方案如下表：tfnNhnE6e5运输平衡表与运价表求第三个调运方案的检验数：λ12＝2，λ14＝1，λ22＝2，λ23＝1，λ31＝9，λ33＝12所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产10/24品所需工时分别为6台时、3台时和6台时。另外，三种产品的利润分别为400元/件、250元/件和300元/件。由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。HbmVN777sL1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x1件、x2件和x3件，显然x1，x2，x3≥0线性规划模型为maxS=400x1+250x2+300x3⎧4x1+4x2+5x3≤180⎪⎨6x1+3x2+6x3≤150⎪x，x，x≥0⎩1232．解上述线性规划问题的语句为：clear;C=-[400250300];A=[445;636];B=[180;150];LB=[0;0;0];V7l4jRB8Hs[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)⎡2-1⎤⎡10-1⎤⎢41⎥，C=⎡10⎤，求：AB+CT例3已知矩阵A=⎢，B=⎥⎢1-2⎥⎢⎥⎣012⎦⎣⎦⎢⎣1-1⎥⎦83lcPA59W9⎡2-1⎤⎡10-1⎤⎢⎥+⎡10⎤=⎡10⎤+⎡11⎤=⎡21⎤41解：AB+C=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎣012⎦⎢1-1⎥⎣1-2⎦⎣6-1⎦⎣0-2⎦⎣6-3⎦11/24⎣⎦例4设y＝(1＋x)lnx，求：y'21+x2解：y'=(1+x)'lnx+(1+x