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•第九节多面体与球•1．多面体与正多面体•(1)多面体：若干个围成的几何体叫做多面体．•(2)凸多面体：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的，这样的多面体叫做凸多面体．•(3)正多面体：每个面都是有相同边数的，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．平面多边形同一侧正多边形•2．球•(1)球面和球的概念•半圆以它的为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做，简称球．•球也可以看作是与定点(球心)的距离定长(半径)的所有点的集合(轨迹)．•(2)球的截面的性质•①用一个平面去截一个球，截面是一个圆面；•②球面被经过球心的平面所截得的圆叫做，被不经过球心的平面所截得的圆叫做；直径球体等于大圆小圆•③球心和截面圆心的连线；•④球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：•(3)球面距离•经过球面上两点的的长度，叫做两点的球面距离．•(4)球的表面积与体积•半径是R的球的表面积S球面＝；体积V球＝.垂直截面R2＝d2＋r2.大圆在这两点间的劣弧4πR2πR3•(1)要分清球和球面的区别．球面是曲面，是球的表面，是空间中与定点的距离等于定长的点的集合，球是球体的简称，是几何体，是空间中与定点的距离等于或小于定长的点的集合．•(2)球面距离(如A、B两点距离)的计算方法：•①计算线段AB的长；•②计算∠AOB；•③求过A、B的大圆的劣弧长(即A、B两点间的球面距离)．•1．下列结论正确的是()•A．过球面上两点，可确定球的一个大圆•B．过球直径的三等分点的平面不可能平分球•C．过球面上三点，可确定一个大圆•D．若A、B、C是球面上三点，则过三点的球的截面圆周是△ABC的外接圆•【答案】D•2．(2008年湖北卷)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()【答案】B•3．已知正方体的外接球的体积是π，则这个正方体的棱长是()【答案】D【答案】2•5．某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.•【解析】如图所示，•∵2πr＝12π，∴r＝6(cm)．•设地球仪半径为R，•在北纬45°圈上有A、B两点，沿该纬线圈上A、B两点的劣弧长为πR(R为地球半径)，求：A、B两点的球面距离．•【思路点拨】先据已知条件找出北纬45°圈的小圆半径与地球半径的关系，再求出AB的长，进而求距离．•球O的球面上有三点A，B，C，BC＝5cm，∠BAC＝30°，•过A，B，C三点作球O的截面，球心到截面的距离为12cm.•(1)求截面的面积；•(2)求球的表面积；•(3)求球的体积．•【思路点拨】画示意图，求出小圆半径及球的半径．•【解析】(1)设过A，B，C三点的外接圆的半径为r，球的半径为R，•∴截面的面积为πr2＝25π(cm2)．•(2)∵球心到截面距离为12cm，•∴R2－r2＝122，R2＝122＋52＝132，•∴R＝13.•∴S球＝4πR2＝676π(cm2)．•解球的截面问题，关键是利用球的截面圆半径、球心到截面的距离、球半径三者之间的关系建立等式．球的表面积和体积都是关于球半径的函数，因此要注意运用函数与方程的思想方法去处理．•1．在球心的同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积和体积．•球O的截面BCD到球心的距离等于球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D是截面圆圆周上一点，CA是球O的直径．•(1)求证：平面ABD⊥平面ADC；•(2)如果BD∶DC＝∶2，求二面角B－AC－D的大小．•【解析】(1)证明：如图，设截面圆BCD的圆心为O1，则OO1⊥面BCD.连结BD.•在△ABC中，O，O1分别为AC，BC的中点，∴OO1綊•AB，•∴AB⊥平面BCD，•∴AB⊥CD.又BC是⊙O1的直径，•∴CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，•CD⊂面ACD•∴平面ABD⊥平面ADC.•(2)由(1)知，AB⊥平面BCD，•∴平面BCD⊥平面ABC.•作DE⊥BC于E，则DE⊥平面ABC，•作EF⊥AC于F，连结DF.由三垂线定理知DF⊥AC，•∴∠DFE是二面角B－AC－D的平面角．•设球的半径为2，则OO1＝1，AB＝2，•∴二面角B－AC－D的大小为60°.•解决有关的外接球问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这个截面通常指圆锥的轴截面，球的大圆，多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出几何的主要位置关系和数量关系．•2．四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE.•(1)求证：A、B、C、D、E都在以AB为直径的同一球面上；•(2)若∠CBE＝90°，CE＝，AD＝1，求B、D两点的球面距离．•【解析】(1)证明：连结BD，因为AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE，所以△ABC、△ABE、△ABD均是以AB为斜边的直角三角形，从而点A、B、C、D、E都在以AB为直径的同一球面上．•(2)取AB的中点O，则O为球心，因为∠CBE＝90°，DE为AE在面BCDE上的射影，AE⊥BE，所以DE⊥BE，•在高考中，主要考查球的性质、球面上两点间距离、球的表面积、体积的计算以及球的内接多面体和外切多面体等问题，多以选择题和填空题的形式进行考查．•1．(2009年陕西卷)如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，OO1＝，A、B是圆O1上两点，若A、B两点间的球面距离为，则∠AO1B＝________.•2．(2009年江西卷)体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．•【解析】设正方体棱长为a，球半径为r.•∵a3＝8，∴a＝2.∵4πr2＝6a2，