高三寒假复习讲义第10章 第2讲 双曲线及其性质

高三寒假复习讲义第2讲双曲线及其性质考纲展示命题探究考点一双曲线的标准方程知识点1双曲线的定义(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a|F1F2|)．2双曲线的标准方程根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．3双曲线方程的几种常见设法(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±nmx，则双曲线方程可设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)或n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为mx2＋ny2＝1(mn0)．(5)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ＋y2b2－λ＝1(b2λa2)．注意点双曲线定义的理解当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在.入门测1．思维辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)x2m＋y2n＝1表示双曲线的充要条件是mn0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．与椭圆C：y216＋x212＝1共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B．y2－2x2＝1C.y22－x22＝1D.y23－x2＝1答案C解析椭圆y216＋x212＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为y2m－x2n＝1(m0，n0)，则3m－1n＝1，m＋n＝4，解得m＝n＝2，故选C.3．双曲线x216－y29＝1上的点P到点(5,0)的距离是6，则点P的坐标是________．答案(8，±33)解析F(5,0)为双曲线的右焦点，设P(x，y)，则(x－5)2＋y2＝36①，与x216－y29＝1②，联立①②解得：x＝8，y＝±33.∴P(8，±33)．解题法[考法综述]高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质．双曲线的定义的考查主要是利用定义求双曲线的方程，或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题．命题法双曲线的定义和方程典例(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1(2)已知双曲线x24－y2＝1的左、右焦点为F1，F2，点P为左支上一点，且满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．[解析](1)由2c＝10，得c＝5，∵点P(2,1)在直线y＝bax上，∴1＝2ba，即a＝2b.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.故双曲线C的方程为x220－y25＝1.(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m2＋n2－2mncos60°＝2c2，n－m＝2a，所以m2＋n2－mn＝20，m2＋n2－2mn＝16，所以mn＝4，所以S△F1PF2＝12mnsin60°＝3.[答案](1)A(2)3【解题法】双曲线标准方程的求法(1)一般步骤①判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．②设：根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程．③列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组．④解：求解得到方程．(2)常见问题形式①如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．②当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx2＋ny2＝1(mn0)．对点练1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.y24－x2＝1D．y2－x24＝1答案C解析双曲线x2a2－y2b2＝1和y2a2－x2b2＝1的渐近线方程分别为x2a2－y2b2＝0和y2a2－x2b2＝0.A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令y24－x2＝0，得y＝±2x，令y2－x24＝0，得y＝±12x，故选C.2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝1答案C解析由题意得e＝1＋b2a2＝54，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为x216－y29＝1.3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为()A.x221－y228＝1B.x228－y221＝1C.x23－y24＝1D.x24－y23＝1答案D解析由题意可得ba＝32，c＝7，又c2＝7＝a2＋b2，解得a2＝4，b2＝3，故双曲线的方程为x24－y23＝1.4.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.23答案A解析∵双曲线的离心率为2，∴ca＝2，∴a∶b∶c＝1∶3∶2.又∵|AF1|－|AF2|＝2a，|F1A|＝2|F2A|，∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，∴|F1F2|＝2c＝4a，∴cos∠AF2F1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22|AF2||F1F2|＝4a2＋16a2－16a22×2a×4a＝4a216a2＝14，选A.5．设双曲线C经过点(2,2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．答案x23－y212＝1y＝±2x解析双曲线y24－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x.设与双曲线y24－x2＝1有共同渐近线的方程为y24－x2＝λ(λ≠0)，又(2,2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y24－x2＝－3，即x23－y212＝1.所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.6．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．答案x2－y23＝1解析设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线的标准方程为x2－y23＝1.7．已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且焦距是213，则双曲线方程为________．答案x29－y24＝1或y24－x29＝1解析设双曲线方程为x29－y24＝λ(λ≠0)．若λ0，则a2＝9λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝13λ.由题设知2c＝213，∴λ＝1，故所求双曲线方程为x29－y24＝1；若λ0，则a2＝－4λ，b2＝－9λ，c2＝a2＋b2＝－13λ.由2c＝213，∴λ＝－1，故所求双曲线方程为y24－x29＝1.综上，所求双曲线方程为x29－y24＝1或y24－x29＝1.考点二双曲线的几何性质知识点1双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形2等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)等轴双曲线⇔离心率e＝2⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．3点P(x0，y0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的关系(1)P在双曲线内(含焦点部分)⇔x20a2－y20b21；(2)P在双曲线上⇔x20a2－y20b2＝1；(3)P在双曲线外(不含焦点部分)⇔x20a2－y20b21.注意点双曲线的离心率与曲线开口大小的关系离心率e的取值范围：e1，当e越接近于1时，双曲线开口越小；e越接近于＋∞时，双曲线开口越大.入门测1．思维辨析(1)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(3)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．()(4)渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系是k＝±e2＋1.()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为()A.5B.52C.3D．2答案A解析依题意设双曲线的方程是y2a2－x2b2＝1(其中a0，b0)，则其渐近线方程是y＝±abx，由题知ab＝12，即b＝2a，因此其离心率e＝a2＋b2a＝5aa＝5.3．以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±3x解析椭圆x24＋y23＝1的焦点坐标为(1,0)，(－1,0)，顶点坐标为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的顶点为(1,0)，(－1,0)，焦点为(2,0)，(－2,0)．则双曲线的标准方程为：x2－y23＝1.其渐近线为y＝±3x.解题法[考法综述]高考对于双曲线的几何性质的考查以理解和运用为主，双曲线独有的渐近线是高频考点，常与其他圆锥曲线综合考查，难度较大．命题法双曲线的几何性质典例(1)已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，＋∞)(2)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±2xD．y＝±22x[解析](1)如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线y＝bax平行的直线为y＝ba(x－c)，与另一条渐近线y＝－bax联立得y＝bax－c，y＝－bax，解得x＝c2，y＝－bc2a，即点Mc2，－bc2a.∴|OM|＝c22＋－bc2a2＝c21＋ba2.∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|c，即c21＋ba2c，得1＋ba2