高三寒假复习讲义第10章 第3讲 抛物线及其性质

高三寒假复习讲义第3讲抛物线及其性质考点一抛物线的标准方程知识点1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y2＝－2px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝2py(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x2＝－2py(p0)．注意点定义的理解和方程中p的意义(1)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离的比值等于1.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.入门测1．思维辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线就是一元二次函数的图象．()答案(1)×(2)×(3)×2．经过点P(16，－4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝－64yB．y2＝x或y2＝－64xD．y2＝xD．x2＝－64y答案A解析当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y2＝2px(p0)，代入点P(16，－4)得：p＝12，∴y2＝x；当抛物线的开口向下时，抛物线的方程为x2＝－2py(p0)，代入点P(16，－4)得：p＝32，∴x2＝－64y；综上所述，y2＝x或x2＝－64y.3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x答案B解析由准线方程x＝－2得－p2＝－2，且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴)，所以y2＝2px＝8x.解题法[考法综述]四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点，一种是求抛物线的方程，另一种是根据抛物线的方程研究它的几何性质．与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题．命题法抛物线的定义及方程典例(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()A．x2＝112yB．x2＝112y或x2＝－136yC．x2＝－136yD．x2＝12y或x2＝－36y(2)抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．[解析](1)将y＝ax2化为x2＝1ay，当a0时，准线y＝－14a，由已知得3＋14a＝6，所以1a＝12，所以a＝112.当a0时，准线y＝－14a，由已知得3＋14a＝6，所以a＝－136或a＝112(舍)．所以抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y，故选D.(2)抛物线y2＝2x的焦点为F12，0，准线方程为x＝－12，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋12＋x2＋12＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.[答案](1)D(2)2【解题法】抛物线方程的求法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点在x轴上，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上，设为x2＝by(b≠0)．对点练1.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析由y2＝x得2p＝1，即p＝12，因此焦点F14，0，准线方程为l：x＝－14，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋14＝54x0，解得x0＝1，故选A.2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上，那么抛物线的方程是()A．y2＝－16xB．y2＝12xC．y2＝16xD．y2＝－12x答案C解析由题设知直线3x－4y－12＝0与x轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y2＝16x.3．若抛物线y2＝2px(p0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.答案22解析y2＝2px的准线方程为x＝－p2，又p0，所以x＝－p2必经过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－2，0)，所以－p2＝－2，p＝22.4．已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．答案x＝－2解析将双曲线方程化为标准方程得x2a2－y23a2＝1，则其焦点坐标为F1(－2a,0)，F2(2a,0)，且(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得x2a2－y23a2＝1，y2＝8ax⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF1|＋|PF2|＝12，|PF1|－|PF2|＝2a⇒|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p0)经过C，F两点，则ba＝________.答案1＋2解析由题意，知Ca2，－a，Fb＋a2，b.又C，F在抛物线y2＝2px(p0)上，所以a2＝2p×a2，①b2＝2pb＋a2，②由②÷①，得b2a2＝2b＋aa，即b2－2ba－a2＝0，解得ba＝1±2(负值舍去)．故ba＝1＋2.6．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝8p.所以|PQ|＝8p，|QF|＝p2＋x0＝p2＋8p.由题设得p2＋8p＝54×8p，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′斜率为－m，所以l′的方程为x＝－1my＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋4my－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－4m，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E2m2＋2m2＋3，－2m，|MN|＝1＋1m2|y3－y4|＝4m2＋12m2＋1m2.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即4(m2＋1)2＋2m＋2m2＋2m2＋22＝4m2＋122m2＋1m4，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.考点二抛物线的几何性质知识点1抛物线的几何性质2抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24；(2)y1y2＝－p2；(3)焦半径|AF|＝x1＋p2；(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长l＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．注意点解抛物线问题的注意事项(1)注意四种不同的方程下，焦点与顶点以及准线的对应位置．(2)注意定义的应用：将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活转化.入门测1．思维辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.()(3)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点Fp2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.()(4)若AB是焦点弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B.8C．12D．16答案D解析抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.3．设抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离是4，则P点坐标为________．答案(2，±4)解析设y2＝8x的焦点为F，则F(2,0)．设P(x，y)．|PF|＝x＋2＝4，∴x＝2，代入抛物线得y＝±4.∴P点坐标为(2，±4)．解题法[考法综述]抛物线虽只有一个焦点和一条准线，却有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是高频考点，与向量等知识综合命题的趋势较强，应予以高度关注．高考对本考点要求较高，试题难度较大．命题法抛物线的几何性质及其应用典例(1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22(2)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则1|FP|＋1|FQ|＝()A.12B．1C．2D．4[解析](1)焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为22，AB的方程为y＝22(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为12，纵坐标为－2，S△AOB＝12×1×(22＋2)＝322.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|＝x1＋2，|QF|＝x2＋2，则1|FP|＋1|FQ|＝1x1＋2＋1x2＋2＝x1＋x2＋4x1x2＋2x1＋x2＋4，联立直线与抛物线方程消去y得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故1|FP|＋1|FQ|＝x1＋x2＋4x1x2＋2x1＋x2＋4＝x1＋x2＋42x1＋x2＋8＝12，故选A.[答案](1)C(2)A【解题法】抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略(1)用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．(2)抛物线焦点弦问题求解策略求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解．对点练1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A解析由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则S△BCFS△ACF＝|