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高三寒假复习讲义第十一章概率与统计第1讲概率考点一事件与概率1事件的相关概念(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件．(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件．(3)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件．2频率与概率(1)事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．(2)概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率fn(A)＝nAn会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3事件间的关系及运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等事件若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等A＝B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么—称事件A与事件B互为对立事件4概率的性质(1)任何事件的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(2)当事件A与事件B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．上述公式称为互斥事件的概率加法公式．(3)对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则P(A)＋P(B)＝1.注意点频率与概率的关系及并事件、互斥事件的理解(1)频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小．因为频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小．但从大量的重复试验中发现，随着试验次数的增加，频率就稳定在某一固定的值上，频率具有某种稳定性．概率是一个常数，它是频率的科学抽象，当试验次数增加时，所得的频率可近似地当作事件的概率．(2)并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B发生；③事件A，B都发生．即事件A，B至少有一个发生．(3)互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生.1．思维辨析(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球答案B解析选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．故选B.3．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________．答案23解析出现奇数点或2点的事件为A∪B，且A，B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．∴P(A∪B)＝12＋16＝23.[考法综述]随机事件的概率、互斥事件、对立事件的概率为高考常考内容，多与古典概型及独立事件进行综合考查．命题法随机事件、互斥、对立事件的概率典例根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解]记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.【解题法】互斥与对立的关系及解决此类问题的方法(1)互斥与对立的关系①两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥．ziyuanku.com②只有事件A，B互斥时，才有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则公式不成立．(2)解决互斥与对立事件问题时的方法策略①解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．②求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：a．直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算．b．间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)求解，即运用正难则反的数学思想．特别是“至多”“至少”型问题，用间接法就显得较简便．1．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78答案D解析由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝24－1－124＝1416＝78，故选D.2.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．答案56解析4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝56.3．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．答案2063解析由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3…，9.由于是任取m，n：若m＝1时，n可取1,2,3，…，9，共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m，n的取值情况共有7×9＝63种．若m，n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7；n的取值为1,3,5,7,9，因此满足条件的情形有4×5＝20种．故所求概率为2063.4．A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：资*源%库ziyuanku.comA组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立．从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2，…，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝17，i＝1,2，…，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝1049.(3)a＝11或a＝18.考点二古典概型1基本事件一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．基本事件有如下特点：资*源%库(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2古典概型的概念及特点我们将具有下面两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)有限性，即在一次试验中，基本事件的个数是有限的；(2)等可能性，即每个基本事件出现的可能性是相等的．3古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意点如何判断一个试验为古典概型(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性．(2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关.1．思维辨析(1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．()(2)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(3)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率公式求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()(5)从长为1的线段AB上任取一点C，求满足AC≤13的概率是多少”是古典概型．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×2．下面关于古典概型的说法正确的是()①我们所说的试验都是古典概型；②“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”；③掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件；④在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.A．①②B．③④C．②D．④答案D解析①错误．在一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且每个试验结果的可能性是均等的，这样的试验才是古典概型．②错误．它不符合古典概型的定义中每个基本事件发生的可能性相等．③错误．掷一枚硬币两次，出现“正、正”“正、反”“反、正”“反、反”，这四个事件是等可能事件．④正确．由古典概型的概率公式可知，该说法正确．3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120答案C解析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，有{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}共10个基本事件，其中这3个数能构成一组勾股数的只有{3,4,5}，∴所求概率为110，故选C.[考法综述]古典概型是概率知识的基础，常与互斥事件、对立事件等知识相结合，以实际或数学其他领域的材料为背景考查，难度容易或中等．命题法求古典概型的概率典例某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．[解](1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{