高三寒假复习讲义第7章 第3讲 基本不等式

高三寒假复习讲义第4讲基本不等式考点一基本不等式知识点1基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a0，b0，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)几个常用的重要结论①ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；②a＋1a≥2(a0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a0，当且仅当a＝－1时取等号)；③ab≤a＋b22(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；④21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b0，当且仅当a＝b时取等号)．2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值s24(简记：和定积最大)．注意点基本不等式的使用条件(1)求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．(2)连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立.入门测1．思维辨析(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab0.()(3)当a≥0，b≥0时，a＋b2≥ab.()(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．当x1时，关于函数f(x)＝x＋1x－1，下列叙述正确的是()A．函数f(x)有最小值2B．函数f(x)有最大值2C．函数f(x)有最小值3D．函数f(x)有最大值3答案C解析∵x1，∴x－10，∴f(x)＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3，等号成立的条件为当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2.3．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．答案3解析∵x0，y0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．即x＝32，y＝2时，xy取得最大值3.[考法综述]高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点．命题法利用基本不等式求最值典例(1)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是()A．6＋23B．7＋23C．6＋43D．7＋43(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．[解析](1)由log4(3a＋4b)＝log2ab，可得3a＋4b＝ab，且a0，b0，3a＋4bab＝1，即3b＋4a＝1，所以a＋b＝(a＋b)3b＋4a＝7＋3ab＋4ba≥7＋23ab·4ba＝7＋43，当且仅当3a＝2b时等号成立．故选D.(2)∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时等号成立，∴x2＋2y2的最小值为22.[答案](1)D(2)22【解题法】利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．1．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋1a，n＝a＋1b，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6答案C解析由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋1a，n＝a＋1b，∴m＋n＝(a＋b)＋1a＋1b≥2ab＋2ab＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5，故选C.2．若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．答案6－24解析由sinA＋2sinB＝2sinC及正弦定理可得a＋2b＝2c.故cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a＋2b222ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a2＝2b2，即ab＝23时等号成立．所以cosC的最小值为6－24.3.若x，y为正整数，且满足4x＋16y＝1，则x＋y的最小值为________．答案36解析x＋y＝(x＋y)4x＋16y＝20＋16xy＋4yx≥20＋216xy·4yx＝36，当且仅当16xy＝4yx，4x＋16y＝1，即x＝12，y＝24时等号成立．考点二基本不等式的综合应用知识点1不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立⇔f(x)minA(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立⇔f(x)maxB(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立⇔f(x)maxA(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立⇔f(x)minB(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)A在区间D上恰成立⇔f(x)A的解集为D；不等式f(x)B在区间D上恰成立⇔f(x)B的解集为D.2解不等式的实际应用题的一般步骤注意点应用基本不等式解决实际问题的注意事项(1)注意基本不等式成立的条件，尤其是取最值时等号成立的条件．(2)注意实际问题中建立的函数的定义域.入门测1．思维辨析(1)函数f(x)＝cosx＋4cosx，x∈0，π2的最小值等于4.()(2)“x0且y0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．()(3)若a0，则a3＋1a2的最小值为2a.()(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4B．8C．16D．32答案B解析设截成的两段铁丝的长分别为x，16－x，16x0，则围成的两个正方形面积之和为S＝x42＋16－x42≥x4＋16－x422＝8，当且仅当x4＝16－x4，即x＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.3．一段长为40m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．答案100m2解析设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20.∴矩形的面积S＝xy≤x＋y22＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100m2.[考法综述]问题的设置背景经常是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．解题时经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及y＝ax＋bx(a0，b0)等．解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质、基本不等式、函数的单调性或导数来解决．命题法基本不等式在实际问题中的应用典例某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：(1)仓库面积S的最大允许值是多少；(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长．[解](1)设正面的长度为x米，侧面长为y米．由题意，知40x＋2y×45＋20xy＝3200.因为40x＋90y≥240x·90y＝120xy(当且仅当40x＝90y时，取等号成立)，所以3200≥120xy＋20xy，即(xy－10)(xy＋16)≤0.所以0xy≤10.所以S＝xy≤100，即仓库面积S的最大允许值是100平方米．(2)由(1)知，当40x＝90y时，S取最大值，又xy＝100，所以x＝15，y＝203，所以此时正面铁栅应设计为15米．【解题法】利用基本不等式解决实际问题的一般思路(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(3)还原为实际问题，写出正确答案．1.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.动点E和F分别在线段BC和DC上，且BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则AE→·AF→的最小值为________．答案2918解析以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C32，32，D12，32.又BE→＝λBC→，DF→＝19λDC→，则E2－12λ，32λ，F12＋19λ，32，λ0，所以AE→·AF→＝2－12λ12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE→·AF→的最小值为2918.2．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案160解析设池底长xm，宽ym，则xy＝4，所以y＝4x，则总造价为：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋80x＋20x＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)．所以f(x)≥20×2x·4x＋80＝160，当且仅当x＝4x，即x＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元．3．在△ABC中，已知AB→·AC→＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP→＝x·CA→|CA→|＋y·CB→|CB→|，则xy的最大值为________．答案3解析由AB→·AC→＝9，得bccosA＝9.由sinB＝cosAsinC，得b＝ccosA.由S△ABC＝6，得12bcsinA＝6，由上述三式可解得b＝3，c＝5，cosA＝35，sinA＝45，由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×35＝16，a＝4，可见△ABC是直角三角形，以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则CA→＝(3,0)，CB→＝(0,4)，CA→|CA→|＝(1,0)，CB→|CB→|＝(0,1)，则CP→＝x·CA→|CA→|＋y·CB→|CB→|＝x(1,0)＋y(0,1)＝(x，y)，又P在直线AB上，故有x3＋y4＝1(x0，y0)．∵1＝x3＋y4≥2x3·y4，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．4．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝12x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx＝12x＋80000x－200≥212x·