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高三寒假复习讲义第2讲空间点、线、面的位置关系考点空间点、线、面的位置关系1平面的基本性质图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α续表图形文字语言符号语言公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α.续表图形文字语言符号语言ziyuanku.com公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.若P∈α且P∈β，则α∩β＝a，且P∈a.2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．(4)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．②范围：0，π2.3空间直线、平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与Ziyuanku.com平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个注意点对异面直线定义的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．资*源%库(2)不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．(3)异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线.1．思维辨析(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()(6)没有公共点的两条直线是异面直线．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．答案30°45°解析∵AB∥A1B1，∴∠B1A1C1是AB与A1C1所成的角，∴AB与A1C1所成的角为30°.∵AA1∥BB1，∴∠BB1C是AA1与B1C所成的角，由已知条件可以得出BB1＝a，AB1＝A1C1＝2a，AB＝3a，∴B1C1＝BC＝a.∴四边形BB1C1C是正方形，∴∠BB1C＝45°.[考法综述]点、线、面的位置关系是立体几何的核心内容，高考既有单独考查直线和平面位置关系的题目，也有以多面体为载体考查线面位置关系的题目．高考试题对点、线、面的位置关系的考查以理解和掌握为主，试题一般为中等难度．命题法点、线、面位置关系的判断及异面直线所成的角典例(1)已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：①三角形PCD的面积；②异面直线BC与AE所成的角的大小．[解析](1)如图作AM⊥BD，垂足为M；作CN⊥BD垂足为N，若存在某个位置，使得AC⊥BD，则BD⊥平面AMC，BD⊥平面ANC，矛盾，故A错误；当翻折到点A在平面BCD上的射影H落在BC上时，由CD⊥CB，CD⊥AH，所以CD⊥ABH，所以CD⊥AB，故B项正确，D项错误；若存在某个位置使得AD⊥BC，则再由CD⊥CB得CB⊥平面ACD，所以∠ACB＝90°，这样|AB||BC|，而AB＝1，BC＝2，矛盾，故C项错误．Ziyuanku.com(2)①因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.因为PD＝22＋222＝23，CD＝2，所以三角形PCD的面积为12×2×23＝23.②取PB的中点F，连接EF，AF,则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝2，AF＝2，AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝π4.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是π4.[答案](1)B(2)见解析【解题法】异面直线的判定及其所成角的求法(1)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面．(2)求解异面直线所成角的常用方法①平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．最终将空间角转化为平面角，利用解三角形的知识求解(常结合余弦定理求解)．②因为异面直线所成角θ的取值范围是0°θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案B解析A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.110B.25C.3010D.22答案C解析取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，设BC＝CA＝CC1＝2，则AQ＝5，AN＝5，QN＝6，∴cos∠ANQ＝AN2＋NQ2－AQ22AN·NQ＝5＋6－525×6＝6230＝3010，故选C.5．如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案78解析如右图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝22，∴ME＝2.又CM＝22，DN＝22，NE＝2，∴CE＝3，则cos∠CME＝CM2＋EM2－CE22CM·EM＝8＋2－32×22×2＝78.6.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案25解析取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝EQ2＋EN2－QN22EQ·EN＝20＋5－332×20×5＝－25，所以cosθ的最大值为25.7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点，求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.Ziyuanku.com$来&源：ziyuanku.com所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝3.所以三棱锥E－ABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.已知在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝7，求异面直线AB和CD所成角的大小．[错解][错因分析]对异面直线所成角的概念和范围不熟悉，误将图中的∠EGF作为所求直线AB与CD所成的角．[正解]在BD上取靠近B的三等分点G，连接FG、GE，如图所示．在△BCD中，BGGD＝BEEC⇒EG∥DC.同理，在△ABD中，GF∥AB.所以EG和FG所成的锐角(或直角)就是异面直线AB和CD所成的角，即∠EGF就是AB与CD所成的角或其补角．在△BCD中，由GE∥CD，CD＝3，EGCD＝13，得EG＝1.在△ABD中，由FG∥AB，AB＝3，FGAB＝23，得FG＝2.资*源%库在△EFG中，EG＝1，FG＝2，EF＝7，由余弦定理，得cos∠EGF＝EG2＋FG2－EF22EG·FG＝－12.所以∠EGF＝120°.所以直线AB与CD所成角为60°.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·衡水中学期末]设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命