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高三寒假复习讲义第2讲圆的方程及点、线、圆的位置关系考点一圆的方程1圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点M在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点M在圆外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点M在圆内．注意点圆的标准方程与一般方程的关系圆的标准方程展开整理即可得到圆的一般方程，而圆的一般方程通过配方亦可转化为圆的标准方程，二者只是形式的不同，没有本质区别.1．思维辨析(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为－a2，－a，半径为12－3a2－4a＋4的圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()(5)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．圆心在曲线y＝14x2(x0)上，并且与直线y＝－1及y轴都相切的圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋(y－1)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝4答案D解析设圆心的坐标为x，14x2，据题意得14x2＋1＝－x，解得x＝－2，此时圆心的坐标为(－2,1)，圆的半径为2，故所求圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝4.3．直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为()A．22B.2－1C．22－1D．1答案C解析圆心(－2,1)到已知直线的距离为d＝22，圆的半径为r＝1，故所求距离dmin＝22－1.[考法综述]求圆的方程是考查圆的方程中的一个基本点，一般涉及圆的性质，直线与圆的位置关系等．主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用代数方法和几何方法解决问题．命题法1求圆的方程典例1(1)若圆心在x轴上、半径为5的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5(2)求经过A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程．[解析](1)设圆心坐标为(a,0)(a0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以5＝|a＋2×0|5，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.(2)解法一：从数的角度，若选用一般式：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心－D2，－E2.∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0，32＋22＋3D＋2E＋F＝0，2×－D2－－E2－3＝0.解之，得D＝－8，E＝－10，F＝31.∴圆的一般方程为x2＋y2－8x－10y＋31＝0.解法二：从形的角度，AB为圆的弦，由平面几何知识知，圆心P应在AB中垂线x＝4上，则由2x－y－3＝0，x＝4，得圆心P(4,5)．∴半径r＝|PA|＝10.∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.$来&源：ziyuanku.com[答案](1)D(2)见解析【解题法】用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程．(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组．(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．命题法2与圆有关的最值问题典例2已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程变形为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，半径r＝3的圆．(1)设yx＝k，即y＝kx，由题知，直线y＝kx与圆恒有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径3.∴|2k－0|k2＋1≤3.∴k2≤3，即－3≤k≤3，∴yx的最大值为3，最小值为－3.(2)设y－x＝b，则当直线y－x＝b与圆相切时，b取最值，由|2－0＋b|2＝3，得b＝－2±6，∴y－x的最大值为6－2，最小值为－2－6.(3)令d＝x2＋y2表示原点与点(x，y)的距离，∵原点与圆心(2,0)的距离为2，∴dmax＝2＋3，dmin＝2－3.∴x2＋y2的最大值为(2＋3)2＝7＋43，最小值为(2－3)2＝7－43.【解题法】与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．命题法3与圆有关的轨迹问题典例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x0，y0)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x0－2,2y0)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x0－2)2＋(2y0)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x′，y′)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋(x′－1)2＋(y′－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.1．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10答案C解析设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝04D＋2E＋F＋20＝0D－7E＋F＋50＝0，解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝46.故选C.2．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________________；(2)过点A任作一条直线与圆O：x2＋y2＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①|NA||NB|＝|MA||MB|；②|NB||NA|－|MA||MB|＝2；③|NB||NA|＋|MA||MB|＝22.其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x－1)2＋(y－2)2＝2(2)①②③解析(1)依题意，设C(1，r)(r为圆C的半径)，因为|AB|＝2，所以r＝12＋12＝2，所以圆心C(1，2)，故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.(2)由x＝0x－12＋y－22＝2，解得x＝0y＝2－1或x＝0y＝2＋1，因为B在A的上方，所以A(0，2－1)，B(0，2＋1)．不妨令直线MN的方程为x＝0(或y＝2－1)，M(0，－1)，N(0,1)，所以|MA|＝2，|MB|＝2＋2，|NA|＝2－2，|NB|＝2.所以|NA||NB|＝2－22＝2－1，|MA||MB|＝22＋2＝2－1，所以|NA||NB|＝|MA||MB|，所以|NB||NA|－|MA||MB|＝22－2－(2－1)＝2＋1－(2－1)＝2，|NB||NA|＋|MA||MB|＝22－2＋(2－1)＝2＋1＋2－1＝22，正确结论的序号是①②③.3.设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．答案[－1,1]解析解法一：当x0＝0时，M(0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N(－1,0)或N(1,0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，∴－1≤x00或0x0≤1.综上，－1≤x0≤1.解法二：过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin45°≤1，∴OM≤1sin45°，∴OM2≤2，∴x20＋1≤2，∴x20≤1，∴－1≤x0≤1.4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．答案x2＋(y－1)2＝1解析因为(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，所以圆C是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为x2＋(y－1)2＝1.考点二直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由x－a2＋y－b2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.注意点切线长的计算涉及到切线长的计算时，一般放在由切线长、半径及该点与圆心的连线构成的直角三角形中求解.1．思维辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案(1)√(2)×(3)√2．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心答案C解析∵x2＋y2＝2的圆心(0,0)到直线y＝kx＋1的距离d＝|0－0＋1|1＋k2＝11＋k2≤1，又∵r＝2，∴0dr.显然圆心(0,0)不在直线y＝kx＋1上，故选C.3．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析圆C1的方程减圆C2的方程，即得公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，圆C3的圆心为(1,1)，其到l的距离d＝12，由条件知，r2－d2＝234，∴弦长为23.[考法综述]直线与圆的位置关系主要通过数形结合思想考查直线和圆的几何性质．命题法直线与圆的位置关系及应用典例(1)直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不确定(2)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[解析](1)直线ax－y＋2a＝0⇒a(x＋2)－y＝0，即直线恒过点(－2,0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交．(2)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|a－0＋1|2≤r＝2，可得|a＋1|≤2，即a∈[－