北大《量子力学》chpt8-2

第八章量子力学中的近似方法2第八章目录§8.2变分法2(1)定理3(2)Ritz变分法...............................3§8.3量子跃迁.............................5(1)含时间的间的微扰论............................6(2)跃迁几率8(3)微扰引起的跃迁..............................11(4)磁共振16§8.4散射22(1)一般描述................................22(2)玻恩近似；Rutherford散射................25(3)有心势中的分波法和相移...................28(4)全同粒子的散射..........................33§8.2变分法定态微扰论有效，是必须找到10HˆHˆHˆ，0Hˆ有解析解，且逼近Hˆ。但这并不是容易做到的。另一种求法是用变分法求定态解。3(1)定理体系的哈密顿量在某一试探波函数的平均值必大于等于体系基态能量证：HˆH设：20,是Hˆ的本征态，本征值为210EEEkkkEHˆ显然，k形成－正交完备组，于是kkkakk*kk'kk'kk*'kaaHˆaaH0k2kk2k0k2kkk2kEaaEaEa当0时，等号成立。因此，当我们用一试探波函数去找能量平均值时，一般总比基态能量大，再通过求变分，以得尽可能小的平均值及相应波函数。当然，这平均值仍大于等于基态能量，即由变分给出的平均值是基态能量的上限。（2）Ritz变分法现可利用变分原理到具体问题上，以求体系的近似本征能量和本征函数。基本思想：根据物理上的考虑给出含一组参量的试探波函),,,r(21，求出能量平均值，以,,21表示Hˆ),,(H21对,,21，求极值，从而确定),,(0201显然，00201E),,(H（基态能量）当然，如果要求第m条能级的近似本征值和本征函数，则要求知道第一条（基态）…第1m条能级的波函数，1m21,,（设已归一化）。取试探波函数m，然后处理一下，给出新的波函数4m22m11m21m),,(m1m1m再求mmmmHˆ的极值，定出,,21，从而给出第m条能级的近似本征值（即上限）及近似波函数mi1miimiii21m'),,(mimiimi2mimi2miimmEHˆHmi2mimi2mimEmE是第m条能级的上限。例：氦原子基态能量(即外有两个电子)我们知道，氦原子的哈密顿量为（忽略sl）2122212222212rrerezrez22Hˆ0224ee从物理上考虑，当二个电子在原子中运动，它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟是多少？很自然可把它当作待定参量，利用Ritz变分法来求基态能量的近似值。用类氢离子的基态波函数0azr21303ar3e)az(ea122eza若类氢离子的波函数),r(n，则),r(n满足),r(na2e),r()re2(n2022n222取试探波函数为5021a)rr(303ea)(显然，)(a2e)()re2(022i22i2220ea于是212122212222212*rdrd)()rrerezrez22()()(H（这里)(是已归一化的）212222212212*rdrd)()re2re2()(212122212*rdrd)(rre)re(z)re(z[)(02022022a8e5)]a2e(2[z2a2e2)85z22(ae2202)]165z(2[(ae2020)]165z(22[(aeH02165z0220ae)165z()165z(HEeV46.77)eV86.78(实验值为§8.3量子跃迁前二节，我们解决的是Hˆ与t无关，但不能直接求解，而利用020Vm2PHˆ有解析解，并且01VVHˆ较小，通过微扰法求解)r(E)r()pˆ,r(Hˆ的近似结果。6有时也能用试探波函数，通过变分来获得。现在要处理的问题是：体系原处于0Hˆ的本征态（或叠加），而有一与t有关的微扰)t(Hˆ1附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1Hˆ在一段时间中不变），在0Hˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0Hˆ的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。(1)含时间的间的微扰论Hˆ与t有关，体系原处于)Pˆ,r(Hˆ0，随t加一微动)t(VHˆti)t(VHˆ)t(Hˆ0因0Hˆ不显含t，而有)r(E)r(Hˆn0nn0则0Hˆti的通解为ntiEnn0nea)t,r(0H的定态nn)t,r(atiEnne)r()t,r(而na是常数))0,r(),r(())t,r(),t,r((annn不随t变当nkna时，即0t，处于)r(k时)t,r(e)r()t,r(ktiEkk即微扰不存在时，体系处于定态)t,r(k上。7当微扰存在时，特别是与t有关时，则体系处于0Hˆ的各本征态（或定态）的几率将可能随时间发生变化。设：VHˆHˆ0Hˆti当然，仍可按0Hˆ的定态n展开，但由于n不是Hˆ的定态，所以展开系数是与t有关。'n'n'n)t,r()t(a)t('ntiE'n'n0'ne)r()t(a代人S.eq.，并与)t,r(n标积，得)t(aeV)t(aE)t(aE)t(adtdi'n'nt)EE(i'nnn0nn0nn0'n0n得方程)t(aeV)t(adtdi'n'nt)EE(i'nnn0'n0n)t(aeV'n'nti'nn'nn)EE(0'n0n'nnrd)r()t,r(V)r(V'n*n'nn（n为0Hˆ的本征态）)t(an是t时刻，以Hˆ描述的体系，处于0Hˆ的本征态n中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在0Hˆ表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V。假设V很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令)2(n)1(n)0(nnaaaa则有0)t(adtdi)0(n)t(aeV)t(adtdi)0('n'nti'nn)1(n'nn)t(aeV)t(adtdi)1('n'nti'nn)2(n'nn于是有解n)0(nA)t(a与t无关由初条件0tt时，体系处于00ktiEk0ke)r()t,r(，即得8nknA即nk)0(kn)t(a于是有tinkk'n'nti'nn)1(nnk'nneVeVadtditt1ti1nk)1(kn01nkdte)t(Vi1)t(a又由)t(aeV)t(adtdi)1(k'n'nti'nn)2(kn'nn1k1n12021nn110ti1knttti2nn1ntt22)2(kne)t(Ve)t(Vdtdt)i1()t(a由此类推20m01m210tt1tt1mmmmttmm)m(kndtdtdt)i1()t(a1m2mn1mn2m1mm1mnn1mti1mnntimnne)t(Ve)t(V1k1n1ti1kne)t(V而0i)i(knkn)t(a)t(a(2)跃迁几率若nkV很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则1ti1ttnk)1(kndte)t(Vi1)t(a1nk0这表明，体系在0t时刻处于0Hˆ态)t,r(0k，在t时刻，体系可处于0Hˆ的定态)t,r(n，而其几率振幅为)t(a)1(kn（kn）。因此，我们在t时刻，测量发现体系处于这一态的几率为21ti1ttnk22)1(knnkdte)t(V1)t(aP1nk0例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动x)t(P)t,x(V而2)t(0eP)t(Pt（即0t），体系处于基态。9①求t，振子处于第n个激发态的几率？2)1(0nn0)t(aP21tin)t(02dte0xnP112124n02222e0xnP12n22220222e0xnP②当很大0Pn0我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称AdiabaticApproximation（当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到)(H时的本征态上）。③当很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微扰施加），则体系状保持不变，这称为Suddenapproximation。因很小。00xnPP22220n0末态初态。0tt0H0tt'H0ii当突然加一外场00HH，波函数不变j0jj0ittbtt在'H0的能级s几率为22sisb④求t体系处于第10个激发态的几率。由于1n2110xnm10一级微扰为0，一级跃迁几率为0以此类推，仅当)10(010a时才不为0（最低级近似为第十级近似21n1mx1m）即最低要到第十级近似下才不为020100a210tt1tt9nnntt1010)10(010dtdtdt)i1(a100ti10nti9nnti10n10Pr)t(Vr)t(Vr)t(V101n198n9n89109n109200100PP例2：处于基态（t）的氢原子，受位势t0eExe)t(V（0）（为实参数）扰动①求t时，处于nlm态的几率2t)EE(it02nlm1nee100xnlmeE1Pdtedte100xnlmEe0t)i(0t)i(222021n1n21n1n22202i1i1100xnlmEe221n22222024100xnlmEe②求max)nlm(P321n23221n2)(16)(80P21n2221n2202max)nlm(100xnlm1eP③选择定则：由)YY(32rx11111121111200YYlm3210rnl100xnlm21m1l1.m1l2413210rnl对r选择定则为：1l0,1m2221n22220211n10r1n)(32eP当很大（即微扰时间很短），0P11n，所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden近似）当很小（微扰缓慢加上），0P11n，所以氢原子扰动仍处于基态（非简并态）（3）