中档题型规范练――概率

中档题型规范练——概率数学苏(文)第十一章概率A组专项基础训练123456789A组专项基础训练1234567891．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析1．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．A组专项基础训练记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B、D、E的概率的和，即P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.解析12345678935A组专项基础训练1345678922．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是________．解析2．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是________．A组专项基础训练在40根纤维中，有12根的长度越过30mm，即基本事件总数为40，所求事件包含12个基本事件，且它们是等可能发生的，因此所求事件的概率为1240＝310.134567892解析310A组专项基础训练1245678933．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，b、c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b＝c的概率为________．解析3．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，b、c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b＝c的概率为________．A组专项基础训练解析124567893因为P⊆Q，所以当b＝2时，c可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况，当b＝c时，c可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况．所以所求概率为77＋7＝12.12A组专项基础训练1235678944．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．解析4．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．A组专项基础训练123567894对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于或等于1时，其区域是以O为圆心，半径为1的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么所求的概率为1－12π2＝1－π4.解析1－π4A组专项基础训练1234678955．在平面直角坐标系xOy中，不等式组－1≤x≤20≤y≤2表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，则点M位于第二象限的概率为________．解析5．在平面直角坐标系xOy中，不等式组－1≤x≤20≤y≤2表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，则点M位于第二象限的概率为________．A组专项基础训练123467895解析画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P＝16.16A组专项基础训练123457896解析6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．6．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．A组专项基础训练123457896解析用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B，“选出的2名全都是女性”为事件C，则事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事件C包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.710A组专项基础训练123456897解析7．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为________．A组专项基础训练1234568977．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±15分钟，不考虑其他因素，那么姐弟俩在郑州火车站会面的概率为________．解析设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当x＋16≥yy＋16≥x时，姐弟俩会面，又正方形的面积为14，阴影部分的面积为536，所求概率P＝53614＝59.59A组专项基础训练123456798解析8．(13分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．A组专项基础训练123456798解析解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112，8．(13分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，A组专项基础训练123456798解析由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.8．(13分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．A组专项基础训练123456798解析方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.8．(13分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．A组专项基础训练123456798解析(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，8．(13分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.A组专项基础训练1234567899．(14分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．A组专项基础训练123456789解析解(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种．从中选出的两名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种．故选出的两名教师性别相同的概率为P1＝49.A组专项基础训练123456789解析(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．从中选出的两名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种．故选出的两名教师来自同一学校的概率为P2＝615＝25.B组专项能力提升12345678B组专项能力提升234578611．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是________．解析B组专项能力提升23457861从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以所求的概率为P(A)＝810＝45.解析1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是________．45B组专项能力提升134578622.如图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为________．解析B组专项能力提升134578622.如图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为________．解析豆子落在阴影区域内的概率是120200＝35，设阴影部分的面积为S，则SS正方形＝35，解得S＝125.125B组专项能力提升124578633.如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．解析B组专项能力提升3.如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．解析12457863由余弦函数图象的对称性知，阴影部分的面积为矩形ABCD的面积的一半，故所求概率为12.12B组专项能力提升123578644．在区间－π2，π2上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为________．解析4．在区间－π2，π2上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为________．B组专项能力提升12357864解析∵－π2≤x≤π2，而0≤cosx≤12，故－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，13∴根据几何概型的概率公式得所求概率为13.B组专项能力提升123478655．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率为________．解析B组专项能力提升123478655．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概