2.1.1 曲线与方程 (教学用)

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程第二章圆锥曲线与方程所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道；所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道.织金育才学校下图为卫星绕月球飞行示意图，据图回答下面问题：假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视月球为球体，半径为R，你能写出一个轨迹的方程吗？探究点1曲线的方程与方程的曲线问题1：在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线和方程x-y=0有什么关系？xOyx-y=0),(00yxM00(,).xy以为坐标的点在直线上那么图象上的点M与此方程，有什么关系？222()()xaybr问题2：方程表示如图的圆，222()()xaybr（1）圆上任一点22200(,)()()的坐标是方程Mxyxaybr(,).为坐标的点在以为圆心，以为半径的圆上abr22002002(,)()()(,)（）若是方程的解，则以xyxaybrxy的解.·0xy00(,)Mxy222()()xaybr.按某种规律运动几何对象x,y制约关系代数表示点曲线C坐标（x,y）方程f(x,y)=0通过上述两例探究，我们发现在平面直角坐标系建立以后，平面内的点与数对（x,y）建立了一一对应关系.点的运动形成曲线C，与之对应的实数对的变化就形成了方程f(x,y)=0.曲线的方程与方程的曲线概念：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.注：上述两个条件缺一不可！纯粹性！完备性！问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解，能否说f(x,y)=0是曲线C的方程？解：不能，还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,如,以原点为圆心，以2为半径的圆上半部分和方程.422yx例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.证明：（1）设是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以00(,)Mxy0x0y00(,).xyxyk即是方程的解1112(,)Mxyxyk（）设点的坐标是方程的解，则11.xyk即而正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到两坐标轴的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.11xy，xyk由(1)(2)可知,是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的轨迹方程.例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.C例2方程x2＋y2＝1(xy0)的曲线形状是()解析：选C.方程x2＋y2＝1表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，而约束条件xy0则表明单位圆上点的横、纵坐标异号，即单位圆位于第二或第四象限的部分．故选C.解析：选C.由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．故选C.【变式练习】方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线C1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是()A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点[思路探索]从定义入手，考查定义中的两个条件．D2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A．y2＝x与y＝B．y＝lgx2与y＝2lgxC.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝x12yx21x解析：选D.主要考虑x与y的范围.D3.已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．24y解：由x＝，得x2＋y2＝4，又x≥0，所以方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.所以所求图形的面积为2π.1224y24y4.方程y＝所表示的曲线是______．122xx211():yxx解析答案：以(1，0)为端点的两条射线在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程，当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时就意味着具备上述两个条件，只有具备上述两个方面的要求，才能将曲线的研究化为方程的研究,几何问题化为代数问题，以数助形正是解析几何的思想，本节课正是这一思想的基础.作业：优化方案