2.2.2椭圆的简单几何性质(2)直线与椭圆的位置关系

2.2.2椭圆的简单几何性质（2）----直线与椭圆的位置关系怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？drdrd=r∆0∆0∆=0几何法：代数法：问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题2：椭圆与直线的位置关系？不能！所以只能用代数法---求解直线与二次曲线有关问题的通法因为他们不像圆一样有统一的半径。一.直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数法=n2-4mp22221xyab这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。例1.已知直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。2112yxx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆=360，因为所以方程（１）有两个根，变式1：交点坐标是什么？弦长公式：则原方程组有两组解.-----(1)22121214)kxxxx（2121||ABkxx所以该直线与椭圆相交.变式2：相交所得的弦的弦长是多少？117(1,),(,)2510AB由韦达定理12124515xxxxk表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标题型一：公共点问题256AB例2：直线y=kx+1(k∈R)与椭圆恒有公共点,求m的取值范围。1522myx题型一：公共点问题221:15ykxxym解22(5)10550mkxkxm22104(5)550kmkm△（）（）22(51)0mkm51501515122mmmmmkmkm且所以且又恒成立得由即分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线45400xy的距离的表达式.000022454045404145xyxyd且22001259xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例3:已知椭圆221259xy,直线45400xy,椭圆上是否存在一点,到直线l的距离最小?最小距离是多少?lmm题型一：公共点问题2214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？oxyml解：设直线平行于，224501259xykxy由方程组22258-2250yxkxk消去，得22064-425-2250kk由，得（）450lxyk则可写成：12k25k25解得=，=-25.k由图可知题型一：公共点问题oxy45250mxy直线为：22402515414145mld直线与椭圆的交点到直线的距离最近。且思考：最大的距离是多少？2214-5400.259xylxyl例3：已知椭圆，直线：椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？max22402565414145d题型一：公共点问题设直线与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线AB的斜率为k．弦长公式：知识点2：弦长公式适用于任意二次曲线）（）（2122122122124114·1yyyykxxxxkAB例1：已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．题型二：弦长问题222::4,1,3.abc解由椭圆方程知(3,0).F右焦点:3.lyx直线方程为22314yxxy258380yxx消得：1122(,),(,)AxyBxy设1212838,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.分析:先画图熟悉题意,点1F到直线AB的距离易知,要求1FABS△,关键是求弦长AB.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组题型二：弦长问题焦点，过2F作倾斜角为4的直线，求1FAB△的面积.解:∵椭圆2212xy的两个焦点坐标12(1,0),(1,0)FF∴直线AB的方程为1yx由22112yxxy消去y并化简整理得设1122(,),(,)AxyBxy2340xx∴12124,03xxxx∴22221212121212()()2()2()4ABxxyyxxxxxx=423∵点1F到直线AB的距离d0(1)12=2∴112FABSdAB=142223=43.答:1FAB△的面积等于43例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右解法一韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题例1、已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.141622yx点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差题型三：中点弦问题例1、已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.141622yx知识点3：中点弦问题点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．112200(,),(,),(,)AxyBxyABMxy设中点，0120122,2xxxyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122(,),(,)AxyBxy在椭圆上，2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa即2111221211AByyxxbkxxayy2020xbay直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法．所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题例1、已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.141622yx例2、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。221axby22,AB22oxyABM22110axbyxy解:2)210yabxbxb消得:(2)(1)0babb=4-4(abab1122(,),(,)AxyBxy设121221,bbxxxxabab(,)baABMabab中点2212121()4ABkxxxx又MOakb222ba221222()4bbabab12,33ab，求此椭圆方程。标为椭圆的弦的中点的横坐所得的椭圆截直线和、焦点分别为例212325,025,03xy明理由。的方程；若不存在，说？若存在，求出直线的距离等于与有公共点，且直线与椭圆，使得直线的直线）是否存在平行于（的方程；）求椭圆（为其右焦点，且点经过点的椭圆、已知中心在坐标原点例llOACllOACFACO4210,23,243、中点弦问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率（点差法）1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：|AB|==（适用于任何二次曲线）212124·11yyyyk）（2122124·1xxxxk）（小结解方程组消去其中一元得一元二次型方程△0相离△=0相切△0相交练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,D193622yx165练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线：2225945yxxy由2143690xx得：1212189,714xxxx2212126111()47kxxxx弦长练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.22:(2)519145解(1,1)A在椭圆内。1122(,),(,)AMNMxyNxy设以为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590xxyy两式相减得：（）（）1212121259MNyyxxkxxyy5951(1)9AMNyx以为中点的弦为方程为:59140xy思考3:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.2212016xy分析:∵椭圆的焦点为(2,0),(2,0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.思考3:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.12:(2,0),(2,0)FF解椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyFxy设关于直线的对称点0000(1)1226022yxxy由0064xy解得：(6,4)F1245FFa25a2c4b2212016所求椭圆方程为：xy练习巩固:1.过椭圆221164xy内一点(2,1)M引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方程.2.椭圆221164xy上的点到直线220xy最大距离是________.3.已知椭圆的焦点12(3,0),(3,0)FF且和直线90xy有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.240xy102214536xy思维挑战题:试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.122yxbyxm分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb则两点的直线可设为：:2,yxmAB解假设椭圆上存在关于直线对称的两点1122(,),(,)AxyBxy设两对称点121213()222yyxxbb3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm242m1122m2212143yxbxy由22:30yxbxb消得2224(3)3120bbb22b12xxb