1.3 齐次方程

§1.3齐次方程可化为变量分离方程类型（I）齐次方程.,,,,,,)(222111222111为任意常数其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII(I)形如()(3.1)dyygdxx.)(的连续函数是这里uug方程称为齐次方程,求解方法:方程化为引入新变量作变量代换,)(10xyu,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy这里由于解以上的变量分离方程02.30变量还原什么样的方程是齐次方程，如何辨认？1(1)1dyxydxxy(2)dyxydxxy222sin(3)cosyxydyxydxxyxx22(4)()()0xydxxydy/(5)lnlnyxdyyxedx其中（2），（3），（5）是齐次方程。其它不是，原因在于齐次的涵义。这里齐次是指齐次函数。()ygx(,),,(,)(.).kfxyxytRyftxtyktfxygx：如果对于任意，满足齐次齐次式定次方程中的实为义零次齐次式。(,)(,)(,)1,(,)(1,)().fxyftxtyfxyyytfxyfgxxx一方面，零次齐次式意味着：若令代入得到，(,)(),(,)()(,),()ytyfxygftxtygfxyxtxygx另一方面，若则即具有零次齐次特征。齐次方程判断方法：1.利用定义（3.1）2.利用零次齐次等价定义具体说来，过程如下：,xyu作变量代换,xuy即代入原式,dxduxudxdy),(ugdxduxu.)(xuugdxdu即可分离变量的方程,0)(时当uug,ln)(1xCuugdu得,)(uCex即）（uugduu)()(,代入将xyu,)(xyCex得通解,0u当,0)(00uug使,0是新方程的解则uu,代回原方程.0xuy得齐次方程的解例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程变形为)0(2xxyxydxdy这是齐次方程,代入得令xyuuu2即udxdux2将变量分离后得xdxudu2udxdux两边积分得:cxu)ln(即为任意常数ccxcxu,0)ln(,))(ln(2代入原来变量,得原方程的通解为,0)ln(,00)ln(,])[ln(2cxcxcxxyxdxudu2例6求下面初值问题的解0)1(,)(22yxdydxyxy解:方程变形为2)(1xyxydxdy这是齐次方程,代入方程得令xyu21udxdux将变量分离后得xdxudu21两边积分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21变量还原得cxxyxy2)(1.1,0)1(cy可定出最后由初始条件故初值问题的解为)1(212xyxdxudu21(II)形如,222111cybxacybxadxdy.,,,,,222111为常数这里cbacba的方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论的情形0121cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.的情形022121bbaa则方程可改写成设,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy则方程化为令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufbadxdyba22这就是变量分离方程不同时为零的情形与且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa则).0,0(),(,解以上方程组得交点平面两条相交的直线代表xy作变量代换(坐标变换),yYxX则方程化为YbXaYbXadXdY2211为(1)的情形,可化为变量分离方程求解.解的步骤:,0012221110cybxacybxa解方程组,yx得解方程化为作变换,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg离方程将以上方程化为变量分再经变换,30XYu求解04变量还原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程组0301yxyx,2,1yx得代入方程得令2,1yYxXYXYXdXdY得令,XYuuudXduX112XYXY11将变量分离后得XdXuduu21)1(两边积分得:cXuuln)1ln(21arctan2变量还原并整理后得原方程的通解为.)2()1(ln12arctan22cyxxy注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,诸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu2xyuxyu以及0))(,())(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),,,(变量分离方程均可适当变量变换化为些类型的方程等一次数可以不相同的齐次函数为其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu令ydxxdydu则代入方程并整理得0))(1()1(udxxduudxuu即0)1(22duuxdxu分离变量后得xdxduuu212两边积分得cxuu2lnln1变量还原得通解为.ln1cyxxy三、应用举例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。解:则表面积为雪球的体积为设在时刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根据球体的体积和表面积的关系得)(3)4()(323231tvts再利用题中条件得引入新常数,3)4(3231k3232313)4(vkdtdv36)2(,288)0(vv,32v分离变量并积分得方程的通解为.)(271)(3tctv由初始条件得3369,636c代入得雪球的体积随时间的变化关系为.)312(6)(3ttv].4,0[:t实际问题要求注作业P221（6）2（4）4