7.1关于实数集完备性的基本定理

上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分2一、区间套定理与柯西收敛准则定义1设闭区间列{[an,bn]}满足：⑴,2,1,],[],[11nbabannnn⑵,0)(limnnnab则称{[an,bn]}为闭区间套，简称区间套．nnaaaa121nnbbbb121x定义1中的条件1实际上等价于如下不等式：.1221bbbaaann上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分3即数列{an}单调增加有上界，从而{an}极限存在；数列{bn}单调减少有下界，从而{bn}的极限存在．定理7.1若{[an,bn]}是一个区间套，则存在唯一的实数ξ,使得,,2,1,],[nbann即.,2,1,nbann也就是说.],[}{1nnnbannaaaa121nnbbbb121x上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分4定理7.1若{[an,bn]}是一个区间套，则存在唯一的实数ξ,使得,,2,1,],[nbann即.,2,1,nbann证数列{an}单调增加有上界，于是{an}的极限存在，,limnna设则有.,2,1,nan同理，数列{bn}单调减少有下界，从而{bn}也有极限，nnnnnnnaabblim)(limlim且nnalim.因为{bn}单调减少，所以有.,2,1,nbn从而.,2,1,nbann上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分5下面来证明唯一性.设1也满足,1nnba则|1|bnan,n=1,2,从而.0)(lim||1nnnab所以.1证毕．上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分6推论若ξ∈[an,bn]}是区间套{[an,bn]}所确定的点，则,0,0N使得当nN时有.);(],[Ubann证由区间套定理的证明可得:limlim.nnnnab由极限的保号性,对于任意正数,存在N,当nN时，有nnab[,](,).,.nnabnnab,即这就是说上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分7注1区间套定理中的闭区间若改为开区间,那么结论不一定成立.例如对于开区间列10n，显然但是定理1中的是不存在的，这是因为110,.nn111.0,0,,1,2,,1nnn12.lim00.nn上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分8注2区间套定理中的闭区间若改为严格开区间,则结论成立(p171#3)。上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分9上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分10作为区间套定理的应用,下面来证明柯西收敛准则,即证明数列{an}收敛的充要条件是：对任给的ε0，存在N0，使得当n,mN时有.||mnaa证[必要性]设由数列极限的定义，对任给的0,存在N0，使当n,mN时,.2,2AaAamn因而有.22||||||AaAaaamnmn上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分11[充分性]对任给的ε0，存在N0，使得当nN时，有,||Nnaa即.],[NNnaaa令,21则存在N1，使得当nN1时，有.]21,21[11NNnaaa令.]21,21[],[1111NNaa再令,212则存在N2(N1)，当nN2时，.]21,21[2222NNnaaa上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分12令.]21,21[],[],[22112222NNaa于是有,21,],[],[222211并且当nN2时，有.],[22na继续依次令,,21,,213n可得一闭区间列{[n,n]}满足：,,2,1,],[],[)1(11nnnnn,)(021)2(1nnnn(3)当nNk时，有,],[kkna.,2,1k上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分13即{[n,n]}是区间套．由区间套定理，存在唯一,],[nn下面证明：.limnna由定理7.1推论，对任给的ε0，存在N0，使得当kN时，有.);(],[Ukk由性质(3)当nNk时，有],[kkna.);(U即,||na所以.limnna证毕．上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分14.)(],,[,)(,)(],[)(1ccfbacbbfaafbaxf使得证明：存在且上单调上升，在有限闭区间设例命题得证。两等分，若证明：将,2)2(],[babafba。令如果令否则，若2,,2)2(,2,2)2(1111babaababafbbbaababaf.)(,)(1111bbfaaf于是有：上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分15命题得证。两等分，若再将,2)2(],[111111babafba。令如果令否则，若2,,2)2(,2,2)2(112121111121121111babaababafbbbaababaf,(),22nnnnababnf以此类推，若存在某个使得命题得证。上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分16.)(,)()3(;02)2(];,[],[],[1}{},{11nnnnnnnnnnnnnbbfaafababbabababa）（满足：否则得到数列ccfnbbfcfafaxfcbannnnnnnn)(,,)()()()(,limlim得到在上式中令的单调性，有又由由区间套定理，有c思考：该题目结论中的唯一吗？如果唯一，如何证明？如果不唯一，怎么举反例？上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分17例2上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分18上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分19本例选自翟连林、姚正安编《数学分析方法论》，北京农业大学出版社，1992年第一版，p152问题3.1.4上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分20二、聚点定理与有限覆盖定理定义2设S为数轴上的点集，为定点．若的任意邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点．设{an}为各项互异的点列，a为{an}的极限，则a是点集{an}的一个聚点．10Sn比如:是的一个聚点;11,1(1).nSn是的两个聚点上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分21若设S是(0,1)中的无理数全体,则S的聚点集合为闭区间[0,1].正整数集N+没有聚点，任何有限集也没有聚点．为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.定义2设S为数轴上的点集，若的任意邻域内都含有S中异于的点，则称为点集S的一个聚点．即.);(0SU定义2若存在各项互异的收敛点列{xn}S，其极限nnxlim称为S的一个聚点上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分22下面简单叙述一下这三个定义的等价性.定义2定义2由定义直接得到.定义2定义2设对任意0,.);(0SU即存在.);(0SUx现令1=1,则存在.);(101SUx令,|}|,21min{12x则.);(202SUx111x222x显然.12xx上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分23令,|}|,1min{1nnxn则.);(0SUxnn且xn与x1,,xn1互异．继续下去，可得S中一互异点列{xn}，满足.1||nxnn由此得nnxlim定义2定义2由极限的定义可知这是显然的．上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分24定理7.2(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理)实轴上的任一有界无限点集必有聚点．证设S为有界无限点集,所以存在正数M,使11[,],[,][,].SMMabMM且记现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],1111111.[,],[,]2abcaccb其中那么中至少有一个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2,b2].1c1a1b2a2b上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分25],,[],[2211baba显然有22111().2babaM再将[a2,b2]等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].112233[,][,][,],ababab显然又有.2)(212233Mabab上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分26无限重复这个过程,就可得到一列闭区间{[an,bn]}满足：nnnMba1(ii)0;2(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.nnnnababn11(i)[,][,],1,2,;由区间套定理存在唯一的ξ∈[an,bn],n=1,2,由区间套定理的推论：对任给的0,存在N0,当nN时，有.);(],[Ubann从而U(;)内含有S中无穷多个点，所以为S的一个聚点．上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分27证设{xn}为有界数列,若{xn}中有无限项相等,取这些相等的项可成一个子列.该子列显然是收敛的．若数列{xn}不含有无限多个相等的项,则{xn}作为点集是有界无限的.由聚点原理,可设是{xn}的推论(致密性定理)有界数列必有收敛子列.子列收敛于.一个聚点,那么再由定义2,可知{xn}中有一个上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分28作为致密性定理的应用，用致密性定理重新证明柯西收敛准则中的充分性.证设数列{an}满足柯西条件，即对任给的ε0，存在N0，使得当n,mN时有.||mnaa要证数列{an}收敛．先证数列{an}有界．为此取=1,则存在N0,当nN时，有.1||1Nnaa故||||11NNnnaaaa.1||||||111NNNnaaaa令,}1|||,|,|,||,max{|121NNaaaaM于是对一切正整数n,都有|an|M．上一页下一页主页返回退出2020年1月27日9时28分29由致密性定理有界数列{an}必有收敛子列,}{kna设.limAaknk于是对任给的ε0，存在K0，使得当n,m,kK时，同时有,||mnaa.||Aakn从而.2||||||