2017版高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理

第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义，A级要求；2.用平面区域表示二元一次不等式组，A级要求；3.从实际情况中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决，A级要求.知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足的解(x，y)可行域所有组成的集合最优解使目标函数达到或的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的或的问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()×√√×2.给出下列各点：①(0，0)；②(－1，1)；③(－1，3)；④(2，－3).其中不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是________(填序号).解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合.答案③3.(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.易知当直线y＝－3x＋z过点A时，z取得最大值.由x＋y－2＝0，x－2y＋1＝0，解得x＝1，y＝1，即A点坐标为(1，1).所以zmax＝3×1＋1＝4.答案44.(2014·安徽卷)不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________.解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由x＋3y－2＝0，x＋2y－4＝0得x＝8，y＝－2.C(8，－2)，由x＋y－2＝0得A(0，2)，B(2，0).直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4，0).因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2＝4.故答案为4.答案45.若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤4，y≥k，且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.答案－2考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)在平面直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤x，y≤k（x－1）－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________.(2)(2015·重庆卷改编)若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m＝________.解析(1)易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域.所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1).(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，由x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m，1＋m).由x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得x＝23－43m，y＝23＋23m，即B23－43m，23＋23m，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43，解得m＝－3(舍去)或m＝1.答案(1)(－∞，－1)(2)1规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k＝________.解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y＝kx＋43过定点0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域.因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.答案73考点二线性目标函数的最值问题【例2】(1)(2015·全国Ⅰ卷)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为________.(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件x＋y≥a，x－y≤－1，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝________.解析(1)由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解.画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时yx最大.由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.∴A(1，3).∴yx的最大值为3.(2)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中Aa－12，a＋12.由z＝x＋ay得y＝－1ax＋za.由图可知当－1≤－1a≤1时，z可取得最小值，此时a≥1或a≤－1.又直线y＝－1ax＋za过A点时，z取得最小值，因此a－12＋a×a＋12＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，当a＝3时，经检验知满足题意；当a＝－5时，目标函数z＝x＋ay过点A时取得最大值，不满足题意.答案(1)3(2)3规律方法(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2)已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.【训练2】(1)(2016·唐山模拟)设变量x，y满足x－y＋1≥0，x＋y－3≥0，2x－y－3≤0，则目标函数z＝2x＋3y的最小值为________.(2)(2015·福建卷)变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0.若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝________.解析(1)作出可行域如图所示，目标函数z＝2x＋3y的几何意义是直线y＝－23x＋z3在y轴上的截距为z3，因此z的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线y＝－23x，经过点B(2，1)时，zmin＝2×2＋3×1＝7.(2)如图所示，目标函数z＝2x－y取最大值2，即y＝2x－2时，画出x＋y≥0，x－2y＋2≥0表示的区域，由于mx－y≤0过定点(0，0)，要使z＝2x－y取最大值2，则目标函数必过两直线x－2y＋2＝0与y＝2x－2的交点A(2，2)，因此直线mx－y＝0过点A(2，2)，故有2m－2＝0，解得m＝1.答案(1)7(2)1考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________(万元).甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128解析设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值.由x＋2y＝8，3x＋2y＝12，得A(2，3).则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).答案18规律方法线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按求最优解的步骤解决.【训练3】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________(元).解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为x＋y≤21，y－x≤7，36x＋60y≥900，x、y∈N，目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域：如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36800(元).答案36800[思想方法]1.求最值：求二元一次目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.3.已知最值求参数问题这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在目标函数中含有参数时，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解.[易错防范]在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值.