2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理

第2讲平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.互相垂直不共线3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝，|AB→|＝.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)（x2－x1）2＋（y2－y1）2x1y2－x2y1＝0诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.()(5)已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝12，1＋sinθ，若a∥b，则θ等于45°.()××××√2.在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)解析由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a＝(3，2)＝2e1＋e2).答案B3.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC＝π4，且|OC|＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ＝()A.22B.2C.2D.42解析因为|OC|＝2，∠AOC＝π4，所以C(2，2)，又OC→＝λOA→＋μOB→，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.答案A4.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.答案125.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.解析∵OC→＝23OA→＋13OB→，∴OC→－OA→＝－13OA→＋13OB→＝13(OB→－OA→)，∴AC→＝13AB→，∴|AC→||AB→|＝13.答案13考点一平面向量基本定理的应用【例1】(1)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ等于()A.15B.25C.35D.45(2)(2016·南昌调研)如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________.解析(1)因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＋μ＝45.(2)设BP→＝kBN→，k∈R.因为AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k14AC→－AB→＝(1－k)AB→＋k4AC→，且AP→＝mAB→＋211AC→，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.答案(1)D(2)311规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.(3)要熟练运用平面几何的一些性质定理.【训练1】(1)在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB→＝a，CA→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD→＝()A.13a＋23bB.23a＋13bC.35a＋45bD.45a＋35b(2)已知△ABC中，点D在BC边上，且CD→＝2DB→，CD→＝rAB→＋sAC→，则r＋s的值是()A.23B.43C.－3D.0解析(1)法一因为CD平分∠ACB，由角平分线定理，得ADDB＝ACBC＝|b||a|＝2，所以AD→＝2DB→＝23AB→.所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝23CB→＋13CA→＝23a＋13b.法二(特殊值法)构造直角三角形，令CB＝1，CA＝2，AB＝3，则∠DCB＝30°，所以BD＝33.故BD→＝13BA→，CD→＝CB→＋BD→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.(2)∵DB→＝AB→－AD→，∴CD→＝AB→－DB→－AC→＝AB→－12CD→－AC→，∴32CD→＝AB→－AC→，∴CD→＝23AB→－23AC→.又CD→＝rAB→＋sAC→，∴r＝23，s＝－23，∴r＋s＝0，故选D.答案(1)B(2)D考点二平面向量的坐标运算【例2】已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4).设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标.解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8).(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20).又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2).∴MN→＝(9，－18).规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.【训练2】(1)(2016·广东六校联考)已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4，设OC→＝λOA→＋OB→(λ∈R)，则λ的值为()A.1B.13C.12D.23(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2，4)，AC→＝(1，3)，则BD→＝()A.(－2，－4)B.(－3，－5)C.(3，5)D.(2，4)解析(1)过C作CE⊥x轴于点E.由∠AOC＝π4，知|OE|＝|CE|＝2，所以OC→＝OE→＋OB→＝λOA→＋OB→，即OE→＝λOA→，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.(2)由题意得BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5).答案(1)D(2)B考点三平面向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标.解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝5，∴4（x－4）－2（y－1）＝0，（x－4）2＋（y－1）2＝5，解得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3).规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练3】(1)(北师大必修4P88例3改编)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________.(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析(1)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB→＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2y＝4，故点D的坐标为(2，4).(2)因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，所以a2＋b2－c22ab＝12，结合余弦定理知，cosC＝12，又0°＜C＜180°，所以C＝60°.答案(1)(2，4)(2)60°[思想方法]1.对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.2.向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.[易错防范]1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.3.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.