2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数课件

第四章三角函数、解三角形§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看做平面内绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的；②分类：角按旋转方向分为_____、_____和_____.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝______________________.(3)象限角：使角的顶点与坐标_____重合，角的始边与____________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.一条射线图形正角负角零角{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}原点x轴的正半轴知识梳理1答案(3)扇形的弧长公式：l＝____，扇形的面积公式：S＝____＝_______.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝__rad,1°＝_____rad，1rad＝______.2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是__.正数负数0π|α|·rπ180180π°12lr12|α|·r2答案三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα___＋＋－－cosα__＋－－＋tanα__________________＋－＋－3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝__，cosα＝__，tanα＝__(x≠0).三个三角函数的初步性质如下表：yxRR{α|α≠kπ＋,k∈Z}π2答案三角函数线有向线段____为正弦线；有向线段____为余弦线；有向线段___为正切线4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.MPOMAT答案(3)角α终边上点P的坐标为(－12，32)，那么sinα＝32，cosα＝－12；同理角α终边上点Q的坐标为(x0，y0)，那么sinα＝y0，cosα＝x0.()(4)α∈(0，π2)，则tanααsinα.()(5)α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()×√×√√答案思考辨析1.已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝____.－8解析因为sinθ＝y42＋y2＝－255，所以y0，且y2＝64，所以y＝－8.考点自测2解析答案123452.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是___.①2kπ＋45°(k∈Z);②k·360°＋94π(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z);④kπ＋5π4(k∈Z).解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确.③解析答案123453.(教材改编)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是_____.解析设圆的半径为r，则sin1＝1r，∴r＝1sin1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝2sin1.2sin1解析答案123454.已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称，点P(x，y)在θ角的终边上(不是原点)，则xyx2＋y2＝______.34解析由题意知角θ的终边与240°角的终边相同，又∵P(x，y)在角θ的终边上，∴tanθ＝tan240°＝3＝yx，于是xyx2＋y2＝yx1＋yx2＝31＋3＝34.解析答案12345解析∵2cosx－1≥0，5.函数y＝2cosx－1的定义域为______________________.∴cosx≥12.2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).解析答案12345返回题型分类深度剖析例1(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为题型一角及其表示解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，∴所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z).解析答案解析∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2(k∈Z)，∴kπ＋π2＜α2＜kπ＋34π(k∈Z).当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2＜α2＜2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2＜α2＜2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角.二或四(2)若角α在第三象限，则角α2在第________象限.解析答案思维升华①M＝N；②M⊆N；③N⊆M；④M∩N＝∅.(1)设集合M＝{x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么下列关系正确的是____.跟踪训练1解析答案－675°或－315°(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________________.解析由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.解析答案例2已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；解α＝60°＝π3rad，题型二弧度制的应用∴l＝|α|·R＝π3×10＝10π3(cm).解析答案(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；解由题意得2R＋R·|α|＝1012|α|·R2＝4⇒R＝1，α＝8(舍去)，R＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.解析答案所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20.所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.即当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大.解析答案思维升华(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是_____.解析将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.－π3跟踪训练2解析答案(2)已知扇形的周长为4cm，当它的半径为___cm和圆心角为____弧度时，扇形面积最大.∴|α|＝4r－2.解析设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.21∴S扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，解析答案命题点1三角函数定义的应用例3(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为____.题型三三角函数的概念解析∵r＝64m2＋9，∴cosα＝－8m64m2＋9＝－45，∴m0，∴4m264m2＋9＝125，即m＝12.12解析答案(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.即Q点的坐标为－12，32.－12，32则Q点的坐标为____________.解析答案命题点2三角函数值的符号例4(1)若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___象限角.解析∵sinα＜0，∴α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上；又tanα＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限.三解析答案(2)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第___象限角.解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，综上知θ2为第二象限角.二解析答案命题点3三角函数线例5满足cosα≤－12的角α的集合为_______________________________.则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，解析作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z解析答案思维升华(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在____.①x轴上；②y轴上；③直线y＝x上；④直线y＝－x上.解析cosα＝1，∴角α的终边在x轴上.①跟踪训练3解析答案(2)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是_______.解析∵cosα≤0，sinα＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.∴3a－9≤0，a＋2＞0，∴－2＜a≤3.(－2,3]解析答案返回思想与方法系列思维点拨点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系.典例(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，OP──→的坐标为________.思想与方法系列6.数形结合思想在三角函数中的应用思维点拨解析答案(2)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为____________________.思维点拨求函数的定义域可转化为解不等式－32＜sinx＜32，利用三角函数线可直观清晰得出x的范围.解析∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜34，∴－32＜sinx＜32.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z).kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z)解析答案返回温馨提醒思维点拨思想方法感悟提高1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则OP＝r一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.方法与技巧1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.给出下列四个命题：()①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有___个.解析答案2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为____.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝|α|·r，所以α＝3.3123456789101112131415解析答案3.已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x＝_____.解析依题意得cosα＝xx2＋5＝24x＜0，由此解得x＝－3.－3123456789101112131415解析答案4.若角α的终边在直线y＝－34x上，则2sinα＋cosα＝______