2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件

第四章三角函数、解三角形§4.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析易错警示系列思想方法感悟提高练出高分基础知识自主学习1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝__________________(C(α－β))cos(α＋β)＝__________________(C(α＋β))sin(α－β)＝__________________(S(α－β))sin(α＋β)＝__________________(S(α＋β))tan(α－β)＝______________(T(α－β))tan(α＋β)＝______________(T(α＋β))cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβtanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβsinαcosβ＋cosαsinβ知识梳理1答案2.二倍角公式sin2α＝_________；cos2α＝___________＝__________＝_________；tan2α＝__________.2tanα1－tan2α2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α答案3.公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝_____________________；(2)cos2α＝_________，sin2α＝___________；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.1＋cos2α2tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1－cos2α2答案(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定.()×√×√√(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()答案思考辨析考点自测2解析答案12345解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos90°－50°cos25°·2sin25°＝sin50°22sin50°＝2.1.化简cos40°cos25°1－sin40°＝.22.若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝.解析由sinα＋cosαsinα－cosα＝12，等式左边分子、分母同除cosα得，tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，则tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.34解析答案123453.(2015·重庆改编)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ＝.解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tanα1＋tan(α＋β)tanα＝12－131＋12×13＝17.17解析答案12345＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.4.(教材改编)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°22解析答案123455.设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为.解析∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.1725012345解析答案返回题型分类深度剖析题型一三角函数公式的基本应用例1(1)已知sinα＝35，α∈(π2，π)，则cos2α2sin(α＋π4)＝.解析cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.－75解析答案(2)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是.∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－(－3)2＝3.解析∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，3解析答案思维升华(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sinα＝.解析∵tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17，∴tanα＝－34＝sinαcosα，∴cosα＝－43sinα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sinα＝35.35跟踪训练1解析答案(2)已知cos(x－π6)＝－33，则cosx＋cos(x－π3)的值是.解析cosx＋cos(x－π3)＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝3(32cosx＋12sinx)＝3cos(x－π6)＝－1.－1解析答案题型二三角函数公式的灵活应用解析原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝22.例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为.22解析答案解析答案思维升华(2)求值：cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝.解析原式＝1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝3.3解析由题意知：sinA＝－2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，(1)在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－2，在等式－2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝tanB＋tanC1－tanBtanC＝－1＝－tanA，所以A＝π4.π4跟踪训练2解析答案则角A的值为.解析f(x)＝1－cos2(π4＋x)－3cos2x可得f(x)的最大值是3.(2)函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x的最大值为.＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin2x－π3＋1，3解析答案例3(1)设α、β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.题型三角的变换问题解析答案(2)已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是.解析∵cos(α－π6)＋sinα＝453，∴32cosα＋32sinα＝453，3(12cosα＋32sinα)＝453，3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.－45解析答案思维升华若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝.跟踪训练3解析答案返回易错警示系列典例(1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，则cos(α＋β)的值为.易错分析角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误.易错警示系列5.三角函数求值忽视角的范围致误易错分析解析答案(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝23，cosB＝－34，则cosA＝.易错分析对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角.易错分析解析答案返回温馨提醒思想方法感悟提高1.巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.方法与技巧2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.方法与技巧1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝.解析原式＝sin5°＋32sin25°cos25°＝sin(30°－25°)＋32sin25°cos25°＝12cos25°cos25°＝12.12解析答案2.若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sinθ＝.解析由sin2θ＝378和sin2θ＋cos2θ＝1得(sinθ＋cosθ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sinθ＋cosθ＝3＋74.同理，sinθ－cosθ＝3－74，∴sinθ＝34.34123456789101112131415解析答案3.若tanθ＝3，则sin2θ1＋cos2θ＝.解析sin2θ1＋cos2θ＝2sinθcosθ1＋2cos2θ－1＝tanθ＝3.3123456789101112131415解析答案4.已知cosα＝－55，tanβ＝13，πα32π，0βπ2，则α－β的值为.解析因为πα32π，cosα＝－55，所以sinα＝－255，tanα＝2，又tanβ＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由πα32π，－π2－β0得π2α－β32π，所以α－β＝54π.54π123456789101112131415解析答案5.已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4＝.解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4，所以tanα＋π4＝tan(α＋β)－β－π4＝tan(α＋β)－tanβ－π41＋tan(α＋β)tanβ－π4＝322.322123456789101112131415解析答案6.sin250°1＋sin10°＝.解析sin250°1＋sin10°＝1－cos100°2(1＋sin10°)＝1－cos(90°＋10°)2(1＋sin10°)＝1＋sin10°2(1＋sin10°)＝12.12123456789101112131415解析答案7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝.解析根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝s