2017版高考数学一轮复习第六章不等式第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件

备高考理教材启智慧分层限时跟踪练研考点第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题备高考|3个任务1．考查二元一次不等式组表示的平面区域面积和目标函数最值(或取值范围)．2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围．3．利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．理教材|回扣自测要点梳理一、二元一次不等式(组)表示的平面区域1．在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0不包括Ax＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)包括不等式组各个不等式所表示平面区域的交集边界边界2.平面区域的确定对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．相同[必记结论]点P1x1，y1和P2x2，y2位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是Ax1＋By1＋C·Ax2＋By2＋C＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是Ax1＋By1＋CAx2＋By2＋C＞0.二、线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式(组)线性目标函数关于x，y的解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的或问题最小值一次一次集合最大值最小值最大值(x，y)[拓展延伸]二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值同直线z－ax－by＝0在y轴上截距的关系(1)当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值．(2)当b＜0时，结论与b＞0的情形恰好相反．基础自测1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3)D．(2，－3)【解析】把A，B，C，D中点的坐标分别代入表达式f(x，y)＝x＋y－1，看其是否满足f(x，y)≤0便可，易知f(－1,3)＝－1＋3－1＞0，故选C.【答案】C3．不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43D.34【解析】由题得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A0，43，B(1,1)，C(0,4)，则△ABC的面积为12×1×83＝43.故选C.【答案】C4．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为．【解析】画出可行域(如图所示)．∵z＝3x＋y，∴y＝－3x＋z.∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．由x＋y－2＝0，x－2y＋1＝0解得B(1,1)，∴zmax＝3×1＋1＝4.【答案】45．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元【解析】设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.【答案】D研考点|梯度提升考向1二元一次不等式(组)表示的平面区域基础考点题型：选择题难度：低命题指数：★☆☆命题热点：二元一次不等式(组)表示的平面区域的识别及面积计算.[自主突破](1)(2015·衡水模拟)若不等式组x－y＋5≥0，y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A．a＜5B．a≥7C．5≤a＜7D．a＜5或a≥7(2)(2015·兰州模拟)已知不等式组x＋y≤1，x－y≥－1，y≥0所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为()A．[－3,3]B.－∞，－13∪13，＋∞C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.－13，13【解析】(1)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.(2)满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．直线y＝kx－3过定点M(0，－3)，当直线y＝kx－3过点C(1,0)时，k＝3；当直线y＝kx－3过点B(－1,0)时，k＝－3，所以当k≤－3或k≥3时，直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，故选C.【答案】(1)C(2)C[规律总结]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．考向2线性规划的实际应用能力考点题型：选择、解答题难度：中命题指数：★☆☆命题热点：以生活中的实例为背景对资源实行优化配置或实现效益最优化[师生共研]某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？【解】设生产A，B两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，依题意，得3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥0，y≥0.目标函数为z＝7x＋12y.作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M时z取最大值．解方程组3x＋10y＝300，4x＋5y＝200，得x＝20，y＝24，因此，点M的坐标为(20,24)，∴该企业生产A，B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．[规律总结]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号；(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等；(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[变式训练]1．(2015·山西四校联考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【解析】设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，于是有x＋2y≤12，2x＋y≤12，z＝300x＋400y.x，y∈N，作出可行域如图中阴影部分所示．由图可知，当z＝300x＋400y经过点A时，z取得最大值．解方程组x＋2y＝12，2x＋y＝12，得A点坐标为(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2800.故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2800元．【答案】C2．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,50【解析】设黄瓜的种植面积为x亩，韭菜的种植面积为y亩，则由题意知x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0，目标函数z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋910y，作出可行域如图，由图象可知直线l：y＝－109x向上平移经过点E时，z取得最大值，由x＋y＝50，4x＋3y＝180，解得x＝30，y＝20，故选B.【答案】B考向3求目标函数的最值交汇考点题型：选择、填空题难度：中命题指数：★★★命题热点：利用线性规划求目标函数的最值，或者已知目标函数的最值求参数的值(或范围).[研·真题](2015·山东高考)已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0.若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－3[导·思路]画可行域―→作出直线ax＋y＝4―→确定最优解―→确定参数【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.【答案】B[通·技法]1．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值．2．对于已知目标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代入目标函数，由目标函数的最值求得参数的值．3．求解非线性规划问题的基本方法是利用目标函数的几何意义求解．常见非线性目标函数类型及其几何意义：(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；(2)yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率；(3)|Ax＋By＋C|A2＋B2表示点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离．[巧·迁移]●迁移一“截距型”最值问题(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件x＋2y≥0，x－y≤0，x－2y＋2≥0，则z＝2x－y的最小值等于()A．－52B．－2C．－32D．2【解析】作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．由x－2y＋2＝0，x＋2y＝0得点A－1，12，zmin＝2×(－1)－12＝－52.【答案】A●迁移二“斜率型”最值问题(2015·全国卷Ⅰ)若x、y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，x＋y－4≤0，则yx的最大值为．【解析】画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时yx最大．由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.∴A(1,3)．∴yx的最大值为3.【答案】3●迁移三“距离型”最值问题(2015·辽宁三校联考)变量x，y满足条件x－y＋1≤0，y≤1，x＞－1，则(x－2)2＋y2的最小值为()A.322B.5C.92D．5【解析】不等式组x－y＋1≤0，y≤1，x＞－1在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图