83.1数系的扩充与复数的概念

毕达哥拉斯（约公元前560—480年）“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．计数的需要正整数零自然数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充中国是世界上最早认识应用负数的国家.早在2000多年前的《九章算术》中,就有正数和负数的记载.在古代人民生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在粮食生产中,以产量增加为正,以产量减少为负.古代的人们为区别正、负数,常用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.+8844-155SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充自然数集整数负整数自然数正整数零整数集SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充整数负整数自然数正整数零分数有理数有理数集自然数集整数集11问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数集自然数集整数集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数实数集SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数集自然数集整数集【问题1】在自然数集中方程有解吗?40x【问题2】在整数集中方程有解吗?40x自然数整数自然数负整数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数整数分数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题3】在整数集中方程有解吗?320x自然数整数自然数负整数实数有理数无理数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?220x有理数整数分数自然数整数自然数负整数在实数集中方程有解吗?210x【问题5】SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?220x在实数集中方程有解吗?210x【问题5】没有实数根21x210x学生活动现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题，怎么解决？讨论你能给出一个解决问题的方案吗?问题6:12i引入一个新数：i满足1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充(R.Descartes,1596--1661)笛卡尔1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数LeonhardEuler（1707-1783）欧拉1801年高斯系统使用了i这个符号使之通行于世（1777—1855）高斯JohannCarlFriedrichGauss1．新数i叫做虚数单位,并规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字母z表示.(3)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.2．复数的概念(,)aRbRizab实部虚部其中称为虚数单位.i(2)SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充复数集虚数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充?实数集有理数集自然数集整数集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数复数的分类：复数z=a+bi(a,bR)条件数的类型RC实数集R是复数集C的真子集，虚数b≠0纯虚数a=0且b≠0实数0a=b=0实数b=0复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)NZQRC复数集虚数集实数集纯虚数集1.写出下列复数的实部与虚部.,4,32i,0,3421ii6解:4的实部为4,虚部为0;2-3i的实部为2,虚部为-3;0的实部为0,虚部为0;的实部为,虚部为;i342121346i的实部为0,虚部为6。2.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。72618.0i725+8，i29331i2ii03、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数例1实数m取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmz)1()1(解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0)1(mm时，复数z是纯虚数．0m即01m且（4）0（5）6+2i如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbiadbca注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小例2:已知()(2)i(25)(3)ixyxyxxyx转化求方程组的解的问题SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充与y解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组yxyxxyx3252解得:23yx求实数1、若x，y为实数，且求x，y.iyixyx4222x=-3,y=42.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.ix=2探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。两个实数可以比较大小实数与虚数不可以比较大小虚数与虚数不可以比较大小*Znni424ni34ni14ni1-1iiB1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.课堂小结2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式.3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0；若x－y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.4.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数dicbiadbca1、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部的复数是()A.2-2iB.2+2iC.-3+3iD.3+3i2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那么()A.R∪M=IB.R∩M＝{}RMID.IMRC.练习AB练习3、已知复数Z=(2m2-3m-2)+(m2-2m)i(m∈R)是:(1)实数；（2）虚数；（3）纯虚数；求m的值.