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第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念16世纪意大利米兰学者卡当，第一个把负数的平方根写到公式中，在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成了这样问题便得到了解决.40515515,“”-15能作为数吗？它表示什么意义呢？卡当给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596—1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.笛卡尔(R.Descartes,1596—1650)21,?xx由它所创造的复变函数理论，成为解决电磁理论，航空理论，原子能及核物理等尖端科学的数学工具.1.了解数系的扩充过程.2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.（重点）3.了解复数的代数表示法.（难点）从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.探究点1数系的扩充负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集负整正整数自然数整数零数分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集正整数自然数整数零有理数负整数分数小数11边长为1的正方形的对角线长度为多少？？毕达哥拉斯(约公元前560——480年）无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.数集扩充到实数集正整数自然数整数零有理数负整数实数分无理数数小数正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.实数集能否继续扩充呢?回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,可以看到,数系的每一次扩充都与实际需求密切相关.2例如,为了解决这样的方程在有理数集中无解,以及正方形对角线的度量等问题,人们把有理数系扩充到了x-2=0实数系.数系扩充后,在实数系中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致:加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.21x思考？1ii引入一个新数：i满足探究点2复数的概念2把这个新数添加到实数集中去,得到一个新数集,记作A,那么方程x+1=0在A中就有i解x=i了.从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间仍然能实数系那样进行加法和交换律、结乘法运算合律,并希望加法和乘法都满足,乘法对加法满足以及.分配律像把实数a与新引入的数i相加,结果记作;把实数b与i相乘,结果记作;把实数a与实数b和i相乘的结果相加,结果记作a+ibia+bi.a+b加法和乘法的运算律仍然成立,这些运算的结果都可以写成(a,b∈R)的形式,把这些数都添加到i数集A中去.这样的数都可以看作是(a,b∈R)的特殊形式,所以实数系经过扩充后得到的新数集a+biC=a+bi|a应该是,b∈R.a+1i0+bia+i可以看作是,bi可以看作是,a可以看作是,i可以看作a+0i0是+1i.我们把集合C=a+bi|a,b∈R中的数,即形如a+bia,b∈R的数叫做(complexnumber),其中i叫做(imaginaryunit).全体复数所成的集合C叫做(setofcomplexn复数虚数单位umb复数集ers).虚数单位i是瑞士数学家欧拉Euler最早引用的,它取自imaginary(想象的,假想的)一词的词头.复数的概念复数通常用字母z表示，即z=a+bia,b∈R,这一表示形式叫做复数的代数形式.其中ab分别叫做复数z的.实部与虚部与在复数集C=a+bi|a,b∈R中任取两个数a,b,c,d∈R,我们规定:a+bi与c+di相等的充a要条件是+bi,c+dia=c且b=d.思考复数集C和实数集R之间有什么关系?i,,0;bba对于复数当且仅当时它是实数0,0;ab当且仅当时它是实数0,.0ab当且时叫做纯虚数,;0b当时叫做虚数11例如,3+2i,-3i,-3-i,-0.2i都是,2213302,,,,它们的实部分别是虚部分别是123022,,,.,并且其中只有-0.2i是.虚数纯虚数复数集实数集虚数集纯虚数集,RC,RC.显然实数集是复数集的真子集即zabi:这样，复数可以分类如下0,00.实数复数虚数当时为纯虚数bzba,,,,.复数集实数集虚数集纯虚数集之间的关系可用图示表示≠1；；实数m取什么值时,复数z=m+1+m-1i是（1）实数（2）虚数（3）例纯虚数.因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数.由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m分析的取值.（1）当m-1=0,即m=1时,复数解z是实数;（2）当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数;（3）当m+1=0,且m-1≠0,即m=-1时,复数z是纯虚数.最后还要指出的是,一般地说,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.例如1+i与2+3i不能比总结提升较大小.例2已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.非必要非充分条件2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是（）A.-2+3iB.3-3iC.-3+3iD.3+3iAB3.下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位）的是（）A.n=2B.n=3C.n=4D.n=54.复数z=i+i2+i3+i4的值是（）A.-１B.0C.1Ｄ.iCB5.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，那么方程x2=－1的另一个根是________.－i6.复数i2(1+i)的实部是________.-1(21)(3),..xiyyixyRxy7.已知，其中求与解根据复数相等的定义，得方程组211(3)xyy解得5,42xy1.虚数单位i的引入，数系的扩充；2.复数有关概念：(,)zabiaRbR复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类abicdiacbd用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路.———笛卡尔