3.4基本不等式

3.4基本不等式2abab学习目标：1、知道什么是基本不等式及其推导过程2、会用基本不等式解决简单的问题锦山蒙中高二数学几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？结论：一般的，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba222一、定理：如果Rba，，那么abba222（当且仅当ba时取“=”号）二、定理：如果ba，是正数，那么abba2（当且仅当ba时取“=”）2ab2abba2abab要证要证（3），只要证（-）≥0当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。（1）只要证a+b≥（2）要证（2），只要证a+b-≥0（3）（4）显然，（4）是成立的。2证明：∵abba2)()(22即：abba2当且仅当ba时，.2abbaabba2∴____);,(2)1(22baabba____).,(2)2(baabbaRR+22abab或（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同ab2ab（2）称为正数a、b的几何平均数称为它们的算术平均数。),,(三相等二定一正(1),ababab均为；(2)与有一个为；(3)正数定值等号必须取到；利用基本不等式求函数的最值时需要同时满足以下三个条件：2abab（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。:.1误判断以下解题过程的正例.2,2121:;1,0)1(原式有最小值解的最值求已知xxxxxxx不正.221,11,2121:;1,21)2(22222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时已知.,2,4.4,4424:.4,3)3(等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求已知xxxxxxxxxx),,(三相等二定一正不定不等2()2.22(2()94.26()5.2()a练习1、判断下列结论是否正确11.当x0且x1时，lgx+lgxabab当a,bR时，）baba3.当a1,b1时,lga+lgblgalgb9当a4时，a+aa1当ab0时，-ab-ab×√×××练习1:不正不正不等2的值域求函数xxy4)1()4[4424，函数值域为解：xxxxy分析：本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。的最小值求已知34,3)2(aaa834,4,34,34234,03,3取得最小值为时即当解：aaaaaaaaaaa分析：本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。大家来挑错！。函数的最小值为解：44sin4sin2sin4siny的最小值，（其中求函数]20sin4sin)3(ysin本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。大家来挑错!解答是错误的，原因是，当x＜0时，就不能运用公式.事实上，当x＜0时，y＜0，故最小值不可能为2.此时，函数的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).大家来挑错!求函数y＝x＋的值域x1解：∵y＝x＋x1≥2，∴y的最小值为2.所以此函数的值域为［2,+∞).abba22baab不等式2：可变形为:推广：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。22baab或二、利用基本不等式求函数的最值2abab推广：（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。和定积最大，积定和最小即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值2()2abab积为定值，则可求其和的最小值2abab3()fxxx例2：已知x0，求的最小值。归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。变式1：若x0，求3()fxxx的最大值。变式2：若x2，求3()2fxxx的最小值。3232232例3：归纳：见积想和，和为定值，则乘积有最大值。，求103x(13)yxx变式2：已知的最大值。设x,y满足x+y=40且x,y都是正数，则xy的最大值是（）A.400B.100C.40D。20121,,41,xyRxyxy已知且则的最大值为________变式1：A161例题讲解例1已知x、y都是正数，求证：(1)2yxxy（2）（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3。随堂练习1、已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥8abc。变式、已知a、b、c都是正数，a+b+c=1,求证：（1–a）（1–b）（1–c）≥8abc。2、证明：a2＋b2＋c2≥ab+bc+ca。变式：已知a、b、c都是正数，证明：222222()abbccaabcabc4(1)1,1____;1xxx设的最小值是.____14,1).1(的最小值是设变式xxx1.凑项：使积成为定值51.,()42.445xfxxx已知求函数的习1最大值练9()4(5)5fxxxx的最小值。2.求45132____;)1(,10)2(的最大值是则函数设xxyx.____)21(,210).2(最大值是设变式xxyx2.凑系数：使和成为定值，求103x(13)yxx练习2：已知的最大值。41811213.分离法.)1(1107.2的最小值求例xxxxy._________2222,____,1:2最小值有时求当若练习xxxyxx921.11,1,0,0.的最小值求已知例batbaba练习:191、已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.xy4.关于“1”的灵活运用191,xyxy已知求的最小值变式：bbaabat4222abbabaab1616例：已知lgx+lgy＝1，的最小值是______.yx252,20,lglg____;xyxyxy练习：正数满足的最大值5.基本不等式与对数相结合2几种利用基本不等式求最值的技巧:2.凑系数1.凑项3.分离4.“1”的妙用小结：作业:.,111,0,0.4.)1(18.3.)3(31.2.)36(,2.12的最小值求且已知的最小值求函数的最小值求函数的最大值求时当yxyxyxxxxyxxxyxxyx