(通用版)2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第4讲 圆锥曲线的综合问题课件 理

第4讲圆锥曲线的综合问题专题九解析几何2016考向导航历届高考考什么？三年真题统计201520142013圆锥曲线的综合问题卷Ⅰ，T20卷Ⅰ，T20(2)卷Ⅱ，T20(2)卷Ⅰ，T20(2)卷Ⅱ，T20(2)专题九解析几何2016会怎样考？(1)以椭圆或抛物线的几何性质为背景构建圆锥曲线框架是试题的特点，在此框架下建立元素之间的关系是试题的内涵(2)考查是以直线和圆锥曲线为主要内容，结合数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程思想方法的综合专题九解析几何1．直线与圆锥曲线相交时的弦长直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2.2．抛物线的过焦点的弦长抛物线y2＝2px(p0)的过焦点Fp2，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.考点一直线与圆锥曲线相切(2015·高考全国卷Ⅰ，12分)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点．(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．[解](1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a)．又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点．证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）x1x2＝k（a＋b）a.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．[名师点评]直线与曲线相切时，①当曲线C是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)情况时，用导数的几何意义求解较明快简捷．②一般情况下，将直线l的方程与曲线C的方程联立消元后利用判别式Δ＝0，但有时要注意检验．已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解：(1)证明：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，∴x1＋x2＝k2.∵xN＝xM＝x1＋x22＝k4，∴N点的坐标为k4，k28.∵(2x2)′＝4x，∴(2x2)′|x＝k4＝k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k.∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中得2x2－kx－2＝0，∴x1＋x2＝k2.∵xN＝xM＝x1＋x22＝k4，∴N点的坐标为k4，k28.设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－k28＝mx－k4，将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋mk4－k28＝0，∵直线l1与抛物线C相切，∴Δ＝m2－8mk4－k28＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l1∥AB.(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.∵M是AB的中点，∴|MN|＝12|AB|.由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12k22＋4＝k24＋2，∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝k24＋2－k28＝k2＋168.∵|AB|＝1＋k2×（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k2×k22－4×（－1）＝12k2＋1×k2＋16.∴k2＋168＝14k2＋1×k2＋16，∴k＝±2，∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.1.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.求：(1)实数b的值；(2)以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解：(1)由y＝x＋b，x2＝4y，得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2，1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.2．已知定点A(1，0)与定直线l：x＝－1，B是直线l上一动点，N是AB的中点，动点M满足MB∥x轴，且MN→⊥AB→.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)求证MN恒与曲线C相切；(3)当△MAB为直角三角形时，求△MAB外接圆的方程．解：(1)设M的坐标为M()x，y，则B点的坐标为()－1，y，N的坐标为0，y2，MN→＝－x，－y2，AB→＝(－2，y)．由MN→⊥AB→，得－x，－y2·(－2，y)＝0，即y2＝4x.(2)证明：设M(x0，y0)，则B(－1，y0)，N(0，y02)．∴kMN＝y0－y02x0＝y02x0.∴MN所在的直线方程y＝y02x0x＋y02.将x＝y24代入y＝y02x0x＋y02，得y＝y02x0·y24＋y02，即y08x0·y2－y＋y02＝0.Δ＝(－1)2－4·y08x0·y02＝1－y204x0＝1－4x04x0＝0.∴MN恒与曲线C相切．(3)当△MAB为直角三角形时，由抛物线的定义知，|MA|＝|MB|，所以∠AMB＝90°，即MA⊥x轴，则M(1，2)，N(0，1)，B(－1，2)，|AB|＝22.所以△MAB的外接圆是以AB为直径，N为圆心的圆，其方程为：x2＋(y－1)2＝2.3.(2014·高考浙江卷)如图，设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋m(k0)，由y＝kx＋mx2a2＋y2b2＝1，消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.由于l与椭圆C只有一个公共点，故Δ＝0，即b2－m2＋a2k2＝0，解得点P的坐标为－a2kmb2＋a2k2，b2mb2＋a2k2.又点P在第一象限，故点P的坐标为－a2kb2＋a2k2，b2b2＋a2k2.(2)证明：由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的距离d＝－a2kb2＋a2k2＋b2kb2＋a2k21＋k2，整理，得d＝a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2.因为a2k2＋b2k2≥2ab，所以a2－b2b2＋a2＋a2k2＋b2k2≤a2－b2b2＋a2＋2ab＝a－b，当且仅当k2＝ba时等号成立．所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.考点二圆锥曲线中的最值问题(经典考题)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，y2－y1x2－x1＝－1，由此可得b2（x2＋x1）a2（y2＋y1）＝－y2－y1x2－x1＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0x0＝12，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为x26＋y23＝1.(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，解得x＝433，y＝－33，或x＝0，y＝3.因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－533n3)，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由y＝x＋n，x26＋y23＝1，得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3，4＝－2n±2（9－n2）3.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2.由已知，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2，当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.[名师点评]在圆锥曲线中，有下列常见的五种最值问题：①弦长的最值问题；②有关斜率的最值问题；③有关线段长度的最值问题；④周长最值问题；⑤面积最值问题．一般的思想方法是：①选取恰当的目标(一般取直线的斜率或倾斜角)；②建立目标函数；③求解目标函数的最值(一般用均值不等式，二次函数的最值法或判别式，导数思想、函数的有界性)；④在最值条件下求解相关问题．直角坐标系xOy中，直线l：x＋y－m＝0过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F与顶点B，l与M的另一个交点为A，P点满足OP→＝12()OA→＋OB→.(1)求OP的斜率；(2)当m＝3时，C为M上一点，求△ACB面积的最大值．解：(1)由OP→＝12()OA→＋OB→知P为AB的中点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得：（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0，即y1＋y2x1＋x2×y1－y2x1－x2＝－b2a2，2y02x0×kAB＝－b2a2.又直线l：x＋y－m＝0过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1的右焦点F与顶点B，所以c＝b＝m，a＝2m，由2y02x0×kAB＝－b2a2，得kOP×(－1)＝－m22m2＝－12，即kOP＝12.(2)当m＝3时，c＝b＝3，a＝6，因此椭圆方程为x26＋y23＝1.由方程组x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，得A(433，－33)，B(0，3)，所以|AB|＝463.设与l平行的直线l′：x＋y＋n＝0，代入椭圆方程x26＋y23＝1得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，当△ACB的面积最大时直线l′与椭圆相切，Δ＝－8n2＋72＝0，即n＝±3，此时P到l：x＋y±3＝0的距离为d＝||±3＋32，所以△ACB面积的最大值为12|AB|dmax＝23＋2.1．动点M到点A(0，1)的距离比到直线y＝－2的距离少1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)轨迹C的一条弦MN与以A为圆心，且过坐标原点O的圆A相切，求△AMN面积的最小值．解：(1)动点M到点A(0，1)的距离比到直线y＝－2的距离少1，则M到点A(0，1)与到直线l：y＝－1的距离相等．∴点M的轨迹是以A(0，1)为焦点，以直线l：y＝－1为准线的抛物线，其方程可设为x2＝2py(p0)，p2＝1，p＝2.故动点M的轨迹C的方程为x2＝4y.(2)由(1)知圆A的方程为x2＋(y－1)2＝1.显然弦MN所在的直线的斜率存在，设其方程为y＝kx＋b，由MN与圆A相切，则|1－b|k2＋1＝1，即