13.4 课题学习 最短路径问题

第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题1课堂讲解运用“垂线段最短”解决最短路径问题运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.知1－导问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？BAl2知识点运用“垂线段最短”解决最短路径问题追问这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．知1－导B··Al追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？知1－导(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；知1－导(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．BAlC知1－导作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．B·lA·B′C知2－导2知识点运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．知2－讲证明：B·lA·B′CC′知1－导在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．知1－讲例1体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是()A．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线C知1－练如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.1解：图略.理由：垂线段最短.某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电．(1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图13.4-3，那么分支点M在什么地方时总线路最短？知2－讲例2图13.4-3知2－讲(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4-4，那么分支点M在什么地方时总线路最短？图13.4-4(1)连接AB，与l的交点即为所求分支点M；(2)作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点M，点M即为分支点．导引：(1)如图13.4-3，连接AB，与l的交点即为所求分支点M.(2)如图13.4-4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点M，点M即为所求分支点．知2－讲解：图13.4-3图13.4-4解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法：当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点．知2－讲如图13.4-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地．请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短．知2－讲例3图13.4-5要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最短路线．知2－讲导引：如图13.4-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PA＝P1A，PB＝P2B，所以先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短．知2－讲解：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．知2－讲知2－练(中考•黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角1D知2－练如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2，0)B．(4，0)C．(2，0)D．(0，0)2C1.最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小值问题；(2)两线一点型线段和最小值问题；(3)两点两线型的线段和最小值问题；(4)造桥选址问题．2.解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来求线段和的最小值．