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高中新课程数学必修④新课引入1.在初中角是如何定义的？定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。顶点边边【新课引入】oAB始边终边顶点定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。2．生活中很多实例会不在[00,3600]这个范围内。如：体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º花样游泳中，运动员旋转的周数如何用角度来表示？转体一周半指的是多少度？这些例子所提到的角不仅不在范围[00,3600]内，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？运动思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角。即零角的始边和终边重合。画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.βB2γAB1αO思考5：度量一个角的大小,既要考虑旋转方向,又要考虑旋转量,通过上述规定,角的范围就扩展到了任意大小.对于α＝210°，＝－150°,＝－660°，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减,如50°＋80°=130°,50°－80°=－30°,你能解释一下这两个式子的几何意义吗？以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.450°.－120°，思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？k·360°（k∈Z）知识探究（二）：象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意的角，角的终边可能落在哪些位置？xoy思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°,405°,210°,-200°,－450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo知识探究（三）：终边相同的角思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°思考2：与－32°角终边相同的角有多少个?这些角与－32°角在数量上相差多少?思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？S={β|β=－32°＋k·360°,k∈Z}思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x轴正半轴：α=k·360°，k∈Z；x轴负半轴：α=180°＋k·360°，k∈Z；y轴正半轴：α=90°＋k·360°，k∈Z；y轴负半轴：α=270°＋k·360°，k∈Z.思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？终边在x轴上:S={α|α=k·180°,k∈Z}；终边在y轴上:S={α|α=90°＋k·180°,k∈Z}.思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？第一象限：S={α|k·360°α90°＋k·360°,k∈Z};第二象限:S={α|90°＋k·360°α180°＋k·360°,k∈Z};第三象限:S={α|180°＋k·360°α270°＋k·360°,k∈Z};第四象限:S={α|－90°＋k·360°αk·360°,k∈Z}.思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？90°＋k·360°α180°＋k·360°180°＋k·720°2α360°＋k·720°45°＋k·180°α/290°＋k·180°理论迁移例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.－950°12′=129°48′－360°X3第二象限角.S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.例2写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤＜720°的元素写出来.小结1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.作业：P53，4，5.