高中数学_推理与证明复习总结

第1页共19页推理与证明本章知识网络：一、推理●1.归纳推理1）归纳推理的定义：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。2）归纳推理的思维过程大致如图：3）归纳推理的特点：①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。●2.类比推理1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。2）类比推理的思维过程是：●3.演绎推理1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。2）主要形式是三段论式推理。3）三段论式常用的格式为：M——P（M是P）①观察、比较联想、类推推测新的结论实验、观察概括、推广猜测一般性结论推理与证明推理证明合情推理演绎推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法第2页共19页S——M（S是M）②S——P（S是P）③其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。二、证明●1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。●2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。（所谓矛盾是指：与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。常见的“结论词”与“反议词”如下表：原结论词反议词原结论词反议词至少有一个一个也没有对所有的x都成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q¬p且¬q至多有n个至少有n＋1个p且q¬p或¬q“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。1、已知数列的前n项和，且，通过计算猜想（）第3页共19页A、B、C、D、a1=1a2=1/3a3=1/6a4=1/10an=1/[1+2+...+(n-1)+n]=1/[(1+n)*n/2]2、已知a1=1，然后猜想（）A、nB、n2C、n3D、3、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件解：根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y≠0．“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真．∴x，y∈R，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B4、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）A、m≥－B、m≤－C、m=D、m=－X^2-(2i-1)x+3m-i=0(x^2+x+3m)-(2x+1)i=0x=-1/2代入得到m=1/125、设R+，，M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加{m2|m∈M}是（）A、R+B、R－C、R+∪R－D、R－∪{0}6、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（）A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝13C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－57、下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是第4页共19页由特殊到特殊的推理.A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.8、下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33ab,则ab”类推出“若00ab,则ab”B.“若()abcacbc”类推出“()abcacbc”C.“若()abcacbc”类推出“ababccc（c≠0）”D.“nnaabn（b）”类推出“nnaabn（b）”9、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误10、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。(A)假设三内角都不大于60度；(B)假设三内角都大于60度；(C)假设三内角至多有一个大于60度；(D)假设三内角至多有两个大于60度。11、在十进制中01232004410010010210，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）A.29B.254C.602D.200412、利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=aan112，(a≠1，n∈N)”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a313、某个命题与正整数n有关，如果当)(Nkkn时命题成立，那么可推得当1kn时命题也成立.现已知当7n时该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立第5页共19页C．当n=8时该命题不成立D．当n=8时该命题成立14、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(nnnnnn”（Nn）时，从“1knkn到”时，左边应增添的式子是（）A．12kB．)12(2kC．112kkD．122kk①当n=1时，左边=2，右边=2，等式成立。②设当n=k，时等式成立，即(k+1)(k+2)...(k+k)=2^k.1.3...(2k-1)当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)....(k+k)(k+K+1)(k+k+2)=2^k.1.3.5...(2k-1).(2k+1)(2k+2)/(k+1)=2^(k+1).1.3.....(2k-1)(2k+1)右边=2^(k+1).1.3....[2(k+1)-1]=2^(k+1).1.3.....(2k+1)即左边=右边，等式成立综上：当N属于N+时，等式成立。15、已知n为正偶数，用数学归纳法证明)214121(2114131211nnnn时，若已假设2(kkn为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）A．1kn时等式成立B．2kn时等式成立C．22kn时等式成立D．)2(2kn时等式成立16、数列na中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn=（）A．1212nnB．1212nnC．nnn2)1(D．1－121n第6页共19页17、（8分）求证：6+722+5。18、（14分）已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。一、1、B2、B3、B4、C5、B6、B6-16DCABBCABBB17、证明：要证原不等式成立，只需证（6+7）2（22+5）2，即证402422。∵上式显然成立,∴原不等式成立.18、解：(1)a1＝23,a2＝47,a3＝815,猜测an＝2－n21(2)①由（1）已得当n＝1时，命题成立；②假设n＝k时,命题成立，即ak＝2－k21,当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,∴2ak＋1＝2＋2－k21,ak＋1＝2－121k,即当n＝k＋1时,命题成立.根据①②得n∈N+,an＝2－n21都成立推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过第7页共19页程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：①cos2a=22cosa-1;②cos4a=84cosa-82cosa+1;③cos6a=326cosa-484cosa+182cosa-1;④cos8a=1288cosa-2566cosa+1604cosa-322cosa+1;⑤cos10a=m10cosa-12808cosa+11206cosa+n4cosa+p2cosa-1.可以推测，m–n+p=.【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m12801120np11，mnp162，又9p10550,m2512，n400，mnp962．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。第8页共19页例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设112,,(2)(3)23nnnnNxx2012nnaaxaxax，将(0)kakn的最小值记为nT，则2345335511110,,0,,,,2323nTTTTT其中nT=__________________.【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键．【思路点拨】观察nT的奇数项与偶数项的特点．【规范解答】观察nT表达式的特点可以看出240,0TT，……，当n为偶数时，0nT；3331123T，5551123T，……，当n为奇数时，1123nnnT．【答案】0,11,23