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第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形.2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.确定三角形解的个数剖析:(1)已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解.(2)已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:角A为锐角角A为钝角或直角图形角A为锐角角A为钝角或直角关系式①a=bsinA②a≥bbsinAababsinAaba≤b解的情况一解两解无解一解无解题型一题型二题型三题型四题型一已知两角和一边解三角形【例1】在△ABC中,已知A=60°,B=45°,c=2,求C,a,b.分析:先根据三角形的内角和定理求出角C,再由正弦定理求a,b.题型一题型二题型三题型四解:在△ABC中,C=180°-(A+B)=180°-(60°+45°)=75°.sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22×32+22×12=2(3+1)4.根据正弦定理,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=2sin60°sin75°=2×322(3+1)4=6(3−1),b=𝑐sin𝐵sin𝐶=2sin45°sin75°=2×222(3+1)4=2(3−1).反思当已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:(1)利用三角形内角和定理求出第三个角;(2)用正弦定理求出另外两边.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】在△ABC中,b=20,A=60°,C=45°,求B,a,c.解:B=180°-A-C=75°.由正弦定理,得a=𝑏sin𝐴sin𝐵=20sin60°sin75°=103sin(45°+30°)=10322×32+22×12=4036+2=302−106,c=𝑏sin𝐶sin𝐵=20sin45°sin75°=102sin(45°+30°)=203−20.题型一题型二题型三题型四题型二已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC中,已知下列条件,解三角形:(1)a=10,b=20,A=80°;(2)b=10,c=56,C=60°;(3)a=3,b=2,B=45°.题型一题型二题型三题型四解:(1)由正弦定理,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=20sin80°10=2sin80°1,故此三角形无解.(2)由正弦定理,得sinB=𝑏sin𝐶𝑐=10sin60°56=22.∵0°B180°,∴B=45°或B=135°.当B=45°时,A=180°-(B+C)=180°-(45°+60°)=75°,此时a=𝑏sin𝐴sin𝐵=10sin75°sin45°=10×6+2422=5(3+1).当B=135°时,A=180°-(B+C)=-15°0°,此时三角形无解.故B=45°,A=75°,a=5(3+1).题型一题型二题型三题型四(3)由正弦定理,得sinA=𝑎sin𝐵𝑏=3sin45°2=32.又0°A180°,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=75°,∴c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin75°sin45°=6+22;当A=120°时,C=15°,∴c=𝑏sin𝐶sin𝐵=2sin15°sin45°=6-22.∴A=60°,C=75°,c=6+22或A=120°,C=15°,c=6-22.题型一题型二题型三题型四反思已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤:(1)利用正弦定理求出另一角的正弦值m,若m1,则此三角形无解;若0m≤1,则执行下一步;(2)借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小.在确定该角时,要注意结论“ab⇔AB”的应用;(3)分类讨论该内角的大小,先用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,此时可能无解,或仅有一解,或有两解.此类题目也可先确定三角形解的个数,再解三角形.题型一题型二题型三题型四A.有一个解B.有两个解C.无解D.不确定答案:A【变式训练2】(1)在△ABC中,A=78°,a=52,b=7,则此三角形().解析:∵a=527=b,A=78°,∴BA.由sinB=𝑏sin𝐴𝑎=7sin78°521,得B有一个解.题型一题型二题型三题型四(2)在△ABC中,c=6,C=π3,a=2,求A,B,b.解:∵𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,∴sinA=𝑎sin𝐶𝑐=2sinπ36=22.∴A=π4或A=3π4.又ca,∴CA.∴A=π4.∴B=5π12,b=𝑐sin𝐵sin𝐶=6sin5π12sinπ3=3+1.题型一题型二题型三题型四题型三判断三角形的形状【例3】已知在△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.分析:设𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R,再利用sinA=𝑎2𝑅,sinB=𝑏2𝑅,sinC=𝑐2𝑅,将角的关系转化为边的关系.解:根据正弦定理,可设𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R,其中R为△ABC外接圆的半径.从而得sinA=𝑎2𝑅,sinB=𝑏2𝑅,sinC=𝑐2𝑅.∵bsinB=csinC,sin2A=sin2B+sin2C,∴b·𝑏2𝑅=𝑐·𝑐2𝑅,𝑎2𝑅2=𝑏2𝑅2+𝑐2𝑅2,∴b2=c2,a2=b2+c2,∴b=c,A=90°.∴△ABC为等腰直角三角形.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,若𝑎𝑏=cos𝐵cos𝐴,试判断△ABC的形状.解:由正弦定理,得𝑎𝑏=sin𝐴sin𝐵.∵𝑎𝑏=cos𝐵cos𝐴,∴sin𝐴sin𝐵=cos𝐵cos𝐴.∴sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:由角的正弦值求角时,未讨论致错【例4】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,a=23,A=30°,求ac的值.错解:由正弦定理知𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,故sinB=𝑏sin𝐴𝑎=6sin30°23=32,B=60°,从而C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=23,b=6,c=43,故ac=23×43=24.错因分析:由sinB=32,且ba,A=30°,故B=60°或B=120°.错解没有讨论角B的度数而致错.题型一题型二题型三题型四正解:由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得sinB=𝑏sin𝐴𝑎=6sin30°23=32.由条件b=6,a=23,ba,得BA.故B=60°或B=120°.①当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.在Rt△ABC中,C=90°,a=23,b=6,c=43,故ac=23×43=24.②当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有a=c=23.∴ac=23×23=12.综上,ac的值为24或12.