高中数学对数与对数运算

第二章基本初等函数（I）2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数1.了解对数、常用对数、自然对数的概念．2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．3．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值．1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念．(2)对数的底数a的取值范围是________________．a＞0且a≠12．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零______对数；(2)loga1＝____(a＞0，且a≠1)；(3)logaa＝____(a＞0，且a≠1)．没有011．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数log39和log93的意义一样．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()××√2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．logaM＝2C．loga2＝MD．log2a＝MB3．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)D4．将log3a＝2化为指数式为________．32＝a1探究点一对数式与指数式的互化将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100；(3)ea＝16;(4)64＝14；(5)log39＝2;(6)logxy＝z(x＞0且x≠1，y＞0)．[解](1)log214＝－2.(2)log10100＝2，即lg100＝2.(3)loge16＝a，即ln16＝a.(4)log6414＝－13.(5)32＝9.(6)xz＝y.指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1.将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4;(2)log1327＝－3；(3)43＝64;(4)14－2＝16.解：(1)由log216＝4可得24＝16.(2)由log1327＝－3可得13－3＝27.(3)由43＝64可得log464＝3.(4)由14－2＝16可得＝－2.探究点二利用对数式与指数式的关系求值求下列各式中x的值：(1)log27x＝－23；(2)logx16＝－4；(3)lg11000＝x;(4)－lne－3＝x.[解](1)因为log27x＝－23，(2)因为logx16＝－4，所以x－4＝16，即x－4＝24.所以1x4＝24，所以1x＝2，即x＝12.(3)因为lg11000＝x，所以10x＝10－3，所以x＝－3.(4)因为－lne－3＝x，所以－x＝lne－3，即e－x＝e－3，所以x＝3.求对数式logaN(a0，且a≠1，N0)的值的步骤(1)设logaN＝m；(2)将logaN＝m写成指数式am＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b．2.求下列各式中x的值：(1)log2x＝32；(2)logx33＝3；(3)x＝log51625；(4)log2x2＝4.解：(1)由log2x＝32，得x＝232＝23＝22.(2)由logx33＝3，得x3＝33＝(3)3，所以x＝3.(3)由x＝log51625，得5x＝1625＝5－4，所以x＝－4.(4)由log2x2＝4，得x2＝(2)4，所以x＝±2.探究点三对数性质的应用求x的值：(1)(2)log2(log3(log4x))＝0.[解](1)由(3x2＋2x－1)＝1得3x2＋2x－1＝2x2－1，3x2＋2x－1＞0，2x2－1＞0且2x2－1≠1.解得x＝－2.(2)由log2(log3(log4x))＝0可得log3(log4x)＝1，故log4x＝3，所以x＝43＝64.[变条件]在本例(2)中，若改为“log2(log3(log4x))＝1”，试求x的值．解：由log2(log3(log4x))＝1可得log3(log4x)＝2，故log4x＝32＝9，所以x＝49.(1)利用对数性质求值的方法①求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．②已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．(2)对数恒等式alogaN＝N的应用①能直接应用对数恒等式的直接求值即可．②对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．3.(1)若lg(lnx)＝0，则x＝________．(2)3－2＝________．e－33解析：(1)由lg(lnx)＝0，得lnx＝1，所以x＝e.(2)3－2＝3×3－24×2＝3×5－16×3＝－33.1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)a＝N.2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化1.若＝c则()A．a2b＝cB．a2c＝bC．bc＝2aD．c2a＝bB解析：＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b．2．方程2＝14的解是()A．x＝19B．x＝33C．x＝3D．x＝9A解析：因为2＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝19.3．使式子(lgx)2－lgx＝0成立的x的值为________．1或10解析：由lgx(lgx－1)＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10.4．若对数式log(－3x＋8)有意义，求实数x的取值范围．解：根据对数的定义，有－3x＋8＞0，x2＋1＞0，x2＋1≠1.解得x＜83，且x≠0；即实数x的取值范围是x|x＜83，且x≠0.（x2+1）