平面向量的分解

2.3平面向量的基本定理2.3.1平面向量的基本定理问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以．问题2：如图，以a为平行四边形的一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定．新课讲解问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．一、平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ、u，使a＝.(2)基底：的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底.不共线任意有且只有一对不共线所有λe1＋ue21.如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.分析思考解：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；②不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；③不正确，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．2．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2解析：∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基底．答案：B问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有夹角吗？提示：有．问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？提示：所成的角为90°时．二、平面向量的夹角两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个a和b，作OA＝a，OB＝b，则＝θ叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是.②当θ＝0°时，a与b．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作.非零向量∠AOB0°≤θ≤180°同向反向90°a⊥b1．关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？①一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③基底中的向量一定不是零向量．提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故①不正确，②③正确．2．在△ABC中，向量AB与BC的夹角是∠B对吗？提示：不对，是π－B.分析思考1．平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．2．平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．3．基底必须具备两个特征：①基底是两个不共线的向量；②基底的选择不是唯一的．概念理解[例1]已知|a|＝|b|＝2，且a与b夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与b的夹角是________．例题讲解解：如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°.以OA，OB为邻边作▱OACB，则OC＝OA＋OB＝a＋b，BA＝OA－OB＝a－b.∵|a|＝|b|＝2，∴△OAB是等边三角形．∴四边形OACB是菱形．∴OC与OA的夹角为30°，BA与OB的夹角为120°，即a＋b与a的夹角为30°，a－b与b的夹角为120°.[答案]30°120°1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则AC与CB的夹角θ＝________.解析：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则AC＝CD，∠BCD是AC与CB的夹角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.答案：120°跟踪练习2．已知向量a与b的夹角等于60°，求下列夹角．(1)2a与－b；(2)－a与－32b.解析：(1)∵2a与a的方向一致，－b与b的方向相反，∴2a与－b的夹角和a与b的夹角互补，即2a与－b的夹角等于120°.(2)∵－a与a的方向相反，－32b与b的方向相反，∴－a，－32b的夹角与a，b的夹角相等，即－a与－32b的夹角为60°.[例2]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若AB＝a，AD＝b，试以a、b为基底表示DE、BF.例题讲解解:∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴AD＝BC＝2BE，CD＝BA＝2CF，∴BE＝12AD＝12b，CF＝12CD＝12BA＝－12AB＝－12a.∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE＝－b＋a＋12b＝a－12b，BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－12a.1．如图，平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量AM＝________.解析：AM＝AD＋DM＝AD＋12DC＝AD＋12AB＝b＋12a.答案：b＋12a跟踪练习2．已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，用a，b表示AD，AE，AF.解：AD＝AB＋BD＝AB＋12BC＝a＋12(b－a)＝12a＋12b；AE＝AB＋BE＝AB＋13BC＝a＋13(b－a)＝23a＋13b；AF＝AB＋BF＝AB＋23BC＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.[例3]证明：三角形的三条中线交于一点．例题讲解解：如图所示，设AD、BE、CF分别为△ABC的三条中线，令AB＝a，AC＝b.则有BC＝b－a设G在AD上，且AGAD＝23，则有AD＝AB＋BD＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．BE＝AE－AB＝12b－a∴BG＝AG－AB＝23BD－AB＝13(a＋b)－a＝13b－23a＝23(12b－a)＝23BE∴G在BE上．同理可证CG＝23CF，即G在CF上．故AD、BE、CF三线交于同一点．1．如图所示，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE//12BC.证明：因为D，E分别为AB，AC的中点，所以AD＝12AB，AE＝12AC，所以DE＝AE－AD＝12(AC－AB)＝12BC.而D，E不重合，所以DE//12BC.跟踪练习2．如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN＝12NC，BN与CM相交于E，设AB＝a，AC＝b，试用基底a，b表示向量AE.解：设ME＝λMC＝λ(b－12a)则BE＝ME－MB＝λb－12λa－12a.又BN＝AN－AB＝13b－a，且BN与BE共线．∴存在μ使BE＝μBN.即λb－12λa－12a＝13μb－μa.∴(μ－12λ－12)a＋(λ－13μ)b＝0.∵在△ABC中，a与b不共线，∴μ－12λ－12＝0，λ－13μ＝0，解得λ＝15，μ＝35.∴ME＝15b－110a，AE＝AM＋ME＝15b－110a＋12a＝25a＋15b.思考：若三点A,B,P共线，且aOA，bOB，如何用ba,表示?OP，系数有何关系？本例中如何用向量法来判断E为CM，BN的几等分点？（1）请探索以上结论，并证明三角形的重心定理；（2）若三角形ABC的重心为G，过G作直线l与边AB,AC分别交于M,N，若,,ACkANABhAM求证：311kh2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标运算1．平面向量的正交分解把一个向量分解成两个的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝，则把有序数对叫做向量a的坐标．记作，此式叫做向量的坐标表示．(2)在直角坐标平面中，i＝，j＝，0＝．互相垂直向量(x，y)xi＋yja＝(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位新课讲解3．平面向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝，a－b＝．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量的和(差)实数与向量的积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的坐标已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)相应坐标(λx，λy)相应坐标(x2－x1，y2－y1)ABAB1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．2．已知向量＝(－1，－2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．OMOMOM分析思考3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量．4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变．[例1]已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和AB与AD的坐标．例题讲解解:由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴AB＝32，12，AD＝－12，32.1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量OA的坐标；(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，OA＝(23，6)．(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).跟踪练习2.已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA→|＝43，∠xOA＝60°，求向量OA→的坐标．解：设点A(x，y)，则x＝|OA→|cos60°＝43cos60°＝23，y＝|OA→|sin60°＝43sin60°＝6，即A(23，6)，∴OA→＝(23，6)．解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则a1＝|a|cos45°＝2×22＝2，a2＝|a|sin45°＝2×22＝2；b1＝|b|cos120°＝3×－12＝－32，3.在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．b2＝|b|sin120°＝3×32＝332；c1＝|c|cos(－30°)＝4×32＝23，c2＝|c|sin(－30°)＝4×－12＝－2.因此a＝(2，2)，b＝－32，332，c＝(23，－2)．[例2]如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF的坐标．解:∵A(7,8)，B(3,5)，C(4，3)，