排列组合中的染色问题(教师版)

1排列组合中的染色问题辅导教师：朱屿电话：[phone]染色问题的基本要求：每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色;染色问题的基本方法:先选色后涂色;染色问题的注意事项;分清区域数量和可供选择的颜色种类。必要时可以对颜色或区域进行分类。1.将A、B、C三种不同的颜色，填到如图所示区域中，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，三种颜色都用到，则不同的涂法种数为（90种）解：906121212121213CCCCCC（详解:先从三种不同的颜色中选出一种填到第一个小格中,后面每小格都有两种不同的选法,所以共有121212121213CCCCCC种,但由于每种颜色都用到且不能有剩余有以下重复的现象出现共六种,所以总计有:（90种,）ABABABBABABAACACACCACACACBCBCBBCBCBC变式训练：1、如果方格数有变化，应该怎样解？2、如果颜色有变化呢？2.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分不种同颜色的花，则不同的栽法种数为（120种）解：先安排六个区域的中1、2、3有2434A种，不妨已分别栽A、B、C，则余下的区域4、5、6的栽法有B-C-D，B-D-C，D-B-C，D-B-D，D-C-D共计五种。所以共计有24*5=120种。3.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）解法一：①.如果用4种颜色，有12045A种5623412②.如果用3种颜色，选色有1035C，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，③.用2色图，20225C，综上共计120+120+20=260种。解法二：从五种颜色中选出两种涂到1、3有A52=20种，然后涂4区域，分为两种情况：不妨假设1、3涂的是A、B，如果4中涂B，4、2区域有4种涂法；如果4区域不是B，4、2区域有3*3=9种涂法，所以总的涂法种数为A52*（4+9）=260种。4.用五种颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，有多少种不同的涂法？（180种）解：解法一：①.如果用3种颜色，先涂123，1区域的颜色与四相同，603335AC；②..如果用4种颜色，有12045A种。所以共计180种。解法二：选出三种颜色涂到234区域中，有A53=60种，然后涂1，有两类情况：与4同，一种；与4不同，2种；所以共有A53*（1+2）=180种。5.用六种广告色着色图中区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色。（480种）1432BBBCCCAAABCA14323解法一：4804456种，解法二：与第4题类似，A63(3+1)=480种6.用n种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，不同的图法种数为120种，则n=（120）。解：因为A44=24，所以n≥5，相当于取出的所有颜色进行全排列，4nA=120，即)123)(103(22nnnn=0，解得n=5。7.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并且使同一条棱上的两端异色，若只有五种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种？（420种）解法一：先染S、A、B，（6035A）然后涂C，)5/3(4)5/4/3(2)4/3(5DCDCDC共七种，所以不同选法种数为60*7=420种。解法二：可以先考虑涂ABCD四个顶点，（1）AC同色且BD同色，A53；AC同色且BD不同色A54；（2）AC不同色且BD同色A54；AC不同色BD也不同色5！，共有A53+A54++A54+5！=420种。8.如图所示的花圃分成六个区域，现要栽四种不同的花，每一部分栽一种花色且相邻部分颜色不同，则不同的栽法种数为（120种）解：同第2题。14321432SCDBA49.一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选用，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为（72种）解：①.如果用3种颜色，24121334CCC；②..如果用4种颜色，有48331214ACC种。所以共计72种。10.用五种不同的颜色涂如图所示的区域，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的填法种数为（260种）解法1：a、c同色，804415Ca、c不同色1803325A，共计260种，本题与第三题类似。解法2：①.如果用4种颜色，有12045A种②.如果用3种颜色，选色的1035C，填色方案有2*2*3=12种，共计10*12=120种，③.用2色图，20225C，综上共计120+120+20=260种。14325614325bdca511.用4种不同颜色给正方体1111DCBAABCD的六个面涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法（96种）解：①.如果用3种颜色，考虑正方体有三对面，三对面的颜色一定是同色，这样相当于涂共顶点的三个面，如B，2434A；②.如果用4种颜色，必有两种对面同色，余下的两个面再涂不同色，有722*2324AC种。所以共计96种。变式：颜色都用完4种颜色，有722*2324AC种。12.1*6矩形长条中，涂红，黄，蓝三种颜色，每种颜色限涂两个格，相邻格不涂同一色，则不同的涂法有（30）解法1:直接法:两种红色,两种黄色,两种蓝色排成一排,(同种颜色不加区分)且相同颜色不相邻可以用插空的办法302523CC（种），图解：设ABC代表红，黄，蓝，则有ABAB；BCBC；CACA每种中都有五个空，用余下的第三种颜色两个去插空。解法2.分类法:先将六个小格排上号1—6号,先涂1号有13C种,不妨设为红色,,再涂料2号有12C种,不妨设为黄色,3号则需要讨论如下:(1):若为红色,则4号和6号必为蓝色,且5号为黄色,可以满足题意,故只有一种涂法,(2):若为蓝色,则后三格必为3种颜色全用,4号有12C种,5-6号有22A种,所在总的排法种数为C31∙C11∗（1+4）=30种.13.用六种不同的颜色涂如图所示的四个方格，要求最多使用三种颜色，相邻格不涂同一色，则不同的涂法有（390）解：用2色：30226C；用3色：3603221336ACC，所以共计390种。D1C1B1A1CDBA614.在平面内，直线x=0，y=x，分圆422yx成四个区域，用五种不同的颜色给四个区域涂色，要求相邻的两个面涂不同的颜色，则不同的涂法种数为（260）与第三题相类似。15.(2008浙江杭州)如图,用六种不同的颜色把图中的ABCD四块区域分开,相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为(480种)解析:先涂A,B,C有1203336AC,然后再涂D区域,在余下的三种颜色中再加上A区域的颜色共四种中选择一种涂上，共有414A；总的涂法种数480143336AAC种。16.一个地区有五个行政区域，现给地图着色，有4种颜色可供选用，每块区域只涂一种色，相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂法种数为（72）17.(2008重庆高考题)某人有4种颜色的灯泡,(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的六个点各装一个灯泡,要求同一条线段的两个端点的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少ABCD123457用一个的安装方法有(216)种.解析:把图中剪开,同一条线段的两个端点的灯泡不同色,且1A、A也不同，按下列顺序安装灯泡，1A---C---1B---B----1C----A,四种颜色不妨设为红,黄,蓝,绿情形１：1B与C同色，方法有24+48＝72种；可分为两种情形(1)B、C1同色：可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选二个（不妨选中红黄两种）安装在B、B1两个位置上，由于1B与C同色，且B、C1同色，有A42种安法,接下安装A与A1，由于各种颜色的灯炮至少用一个，且同一条线段的两个端点的灯泡不同色，只能从余下的（蓝,绿）二种颜色中任选二种，有二种安装方法，根据分步计数原理共有A42∗2=24种；（2）B、C1不同色：可以从红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮中任选一个安装在1B与C上（如红色）有A41，接下来安装B、C1，由于B、C1不同色，可以从余下的三种颜色中二种，选法A32种，再安装A、A1，在保证四种颜色至少用一种的基础上,有二种安装方法,所以不同的安装方法数A41A32∗2=48种；则（1）（2）可知，共有24+48＝72种；情形2：1B与C不同色：48+96=144种；（1）、B、C1同色：与情形1（2）相同，48种；再安装A、A1（2）、B、C1不同色：红,黄,蓝,绿四种颜色的灯炮全选有4！种，各有两种安装方法，所以共有4！*4=96种；所以共有72+144=216种。18、（2012广州综合测试）现在四种不同的颜色，对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不同涂同一种颜色，则不同的着色方法共有（48种）C1A1B1BACC1A1B1ABC819、（2012广东佛山二摸）假设佛山的五个行政区划图如图所示，测绘局想要给地图着色，相邻区域不能涂相同颜色，有四种不同的颜色供选择，则不同的涂法种数为（144种）20．（2007山东菏泽）将某个城市分为四个区域，如图所示，现有五种不同的颜色，图中1234每个区域只涂一种颜色，且相邻两个区域必须涂不同颜色（不相邻两个区域所涂的颜色不限）则2区域涂成红色的概率A．1/5B.1/240C.2/5D.3/521.(2008年全国卷理)如图，一环形花坛分成ABCD，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A．96B．84C．60D．48ABCD顺德禅城高明南海三水4321DBCA