排列组合内一类传球问题的研究

对排列组合中一类传球问题的研究湖北省鹤峰一中刘坤成邮政编码445800摘要排列组合问题是学生最害怕的问题之一，本文着重研究了一类传球问题的解法，总结出了这类问题的一般规律。主题词：排列组合传球问题研究正文：有一个题是这样的：5个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，求传10次后又回到甲的情况。以此题为原型，本文研究了一般情况：n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传x次后又回到甲的情况。共分为四类研究：一、奇数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数x次后又回到甲的情况。二、奇数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数x次后又回到甲的情况。三、偶数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数x次后又回到甲的情况。四、偶数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数x次后又回到甲的情况。为方便起见，以下k、m、n、r、t均为正整数。一、奇数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数x次后又回到甲的情况。分析：从甲传出，传x次后又回到甲，x为偶数；1、当次数x小于2n次时，不妨设为x2m()mn次，只需正传m次，反传m次，有2mmC种。2、当次数x2n次时，分为两类：一类是2n次传球中正传n次，反传n次，有2nnC种；二类是2n次传球中正传0次（反传2n次）或正传2n次，有0222nnnCC种。故共有02222nnnnnCCC种。3、当次数x在(2,4)nn之间时，不妨设为x2m次，分为三类：一类是2m次传球中正传m次，反传m次，有2mmC种；二类是2k次传球中正传2nt次反传t次，有2tmC种，其中22nttm；三类是2k次传球中反传2nt次正传t次，有2tmC种；其中22nttm。故共有222mtmmCC种，即222mnmmnmmmCCC种。4、当次数x4n次时，分为两类：一类是4n次传球中正传2n次反传2n次，有24nnC种；二类是4n次传球中正传n次反传3n次或正传3n次反传n次，有42nnC种；三类是4n次传球中正传4n次或反传4n次，有2种。故共有24422nnnnCC种，即023444444nnnnnnnnnCCCCC种。结论：同理，当次数x2kn次时，因为2kn可分为02kn，(21)nkn，2(22)nkn，，()()krnkrn，，(21)knn，20kn共2k类(0)rk。每类看成是2kn次传球中正传()krn次反传()krn次，有()2krnknC种；故共有0222222nnknknknknknCCCC种。当次数x在(2,(21))knkn之间时，不妨设为x22knm次（0mn）。因为22knm可分为(2)mknm，()[(21)]nmknm，(2)[(22)]nmknm，，[()][()]krnmkrnm，，[(21)]()knmnm，(2)knmm共2k类。每类看成是22knm次传球中正传()krnm次反传()krnm次，有()2krnmknC种；故共有2222222222mnmnmknmknmknmknmknmCCCC种。例如：1、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传8次后又回到甲的情况有48C种。方法：要能回到甲，必须8次中正传4次，反传4次。即只要8次中任选4次向正传就可以了，有48C种。2、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传10次后又回到甲的情况有10510101010CCC种。方法：一类始终向同一个方向传，2种；二类：不同方向时，要能回到甲，必须10次中正传5次，反传5次。即只要10次中任选5次向正传就可以了，有510C种。3、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传14次后又回到甲的情况有271214714CCC种。4、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出传26次后又回到甲的情况有381318232626262626CCCCC种。二、奇数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数x次后又回到甲的情况。分析：从甲传出，传x次后又回到甲，x为奇数；1、当xn时，全都正传1种，全都反传1种，有2种。2、当2xn时，全都正传1种，全都反传1种，有2种，2n次传球中正传n次反传n次，有2nnC种；故共有02223nnnnnCCC种。3、当3xn时，都正传1种，都反传1种，3n次传球中正传2n次反传n次，有23nnC种，3n次传球中正传n次反传2n次，有3nnC种；故共有0233333nnnnnnnCCCC种。4、当(,2)xnn(2,3)nn时，不妨设21xm131()22nnm，21m次中一类正传212mnn次反传212mn次，或者反传212mnn次正传212mn次，有2121222121mnmnmmCC即212212mnmC种。5、当(3,4)(4,5)xnnnn时，不妨设21xm3151()22nnm，21m次中一类正传21332mnn次反传2132mn次，二类正传212mnn次反传212mn次，三类正传212mn次反传212mnn次，四类正传2132mn次反传21332mnn次，有2132121213222221212121mnmnmnmnmmmmCCCC种。结论：同理得1、当(21)xkn时，共有0(21)(21)(21)(21)nknknknknCCC种。注：此类可与“当2xkn时的情况”合并为一类。2、当21xm((21),2)(2,(21))knknknkn时，共有21(21)21(23)213222212121mknmknmnmmmCCC212121321(21)222221212121mnmnmnmknmmmmCCCC种。例如：1、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传5次后又回到甲的情况有2种。2、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传15次后又回到甲的情况有05101515151515CCCC种。3、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传25次后又回到甲的情况有0510152025252525252525CCCCCC种。4、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传9次后又回到甲的情况有2799CC种。5、5人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传27次后又回到甲的情况有1611162126272727272727CCCCCC种。三、偶数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传偶数x次后又回到甲的情况。分析：从甲传出，传x次后又回到甲，只有当x为偶数才能回到甲；1、当xn时，不妨设2xm(0)2nm，有2mmC种。2、当xn时，有02nnnnnCCC种。3、当(,2)xnn时，不妨设2xm()2nmn，有22222nnmmmmmmCCC种。结论：同理得当[,(1))xknkn时，不妨设2xm(1)()22knknm，有(1)222222knknknmmmmmmCCC种。例如：1、6个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传4次后又回到甲的情况有24C种。2、6个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传6次后又回到甲的情况有036666CCC种。3、6个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传8次后又回到甲的情况有147888CCC种。4、6个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传12次后又回到甲的情况有0369121212121212CCCCC种。5、6个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传40次后又回到甲的情况有2581114172023262932353840404040404040404040404040CCCCCCCCCCCCC种。四、偶数n个人围成一圈传球，每次只能传给相邻的人，从甲传出，传奇数x次后刚好到乙的情况。这种情况不存在。题型推广：类似这样的题在学生学习过程中会出现，比如改编为青蛙跳问题：某青蛙在池塘中荷叶上跳动，荷叶排列成圆形，青蛙只能在相邻的两片荷叶上跳动，如果池塘共有12片荷叶，问青蛙跳14次后恰好回到出发荷叶上的跳动方法。参考文献：