一维周期场

2.8一维周期场a0abb2abx()Ux2()ab()(),0,1,2UxnlUxn设空间周期为，考虑到势场的周期性条件：lab()Ux则在晶格周期势场中运动粒子的薛定谔方程为：222()()()()2dxUxxExmdx2.8一维周期场显然，都满足上述薛定谔方程，并且具有同一本征值，从而可以得到：(),(),()xxlxnlE23()(),(2)()(3)(),()()nxlcxxlcxxlcxxnlcx为一常数。c由波函数的有界性，当时，若为实数，必使nc()xnl所以，必为复相因子，令则：cice2.8一维周期场**22()(),()()()()iixlexxlexxlx所以，粒子在空间呈现的几率也是周期性的。在某一个周期内，定态薛定谔方程为bxa20222222()0,020,0dmEUbxdxdmExadx2.8一维周期场下面就和两种情况分别讨论：0EU0EU一．的情况0EU2202222,()mmEEU则方程的解为：()0()0ixixixixxAeBebxxCeDexa2.8一维周期场同理下一个周期中的解为：axal()()()()()()()()iixlixliixlixlxeAeBeaxlxeCeDelxal由在处的连续性条件xa()()()iaiaiibibiaiaiibibCeDeeAeBeCeDeeAeBe在处的连续性条件0x()()ABCDABCD2.8一维周期场稍加整理，有：()()()()0000ibibiaiaibibiaiaABCDABCDeAeBeCeDeAeBeCeD具有非零解的条件是其系数行列式为零，,,,ABCD()()()()11110ibibiaiaibibiaiaeeeeeeee展开并整理，再用除以得42.8一维周期场22(2coscossinsin)0iiieeeabab22coscoscossinsin2abab21(2coscossinsinsinsin)0iieabababe2.8一维周期场上式为一超越方程，为简单起见，只讨论的极限情形，此时，有01EU22002222(2),()mmEUEEU则：22202000002(2)24()22()2()112mEUmEEUEUEEEUEEUEEU2.8一维周期场此时有：022()1,cos1,sinmbEUbbbb001coscossin2sincos2EabaEUabEaaEUa由于022()mEEU2.8一维周期场0EU10202222sincoscos()sincossincosmEaaEEUEUaabmaaEaaaaabmabm2.8一维周期场-1cos1只有当的值在在之间是对应的值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能带之间不能取值，叫做禁带。sincosaaa11a但asincosaaa110禁带允带2.8一维周期场2.8一维周期场二．的情况0EU在时，为虚数，令0EUi2022()mUE22coscoscos()sinsin()2aibaibi利用sin()sinh,coscoshixixixx2.8一维周期场有22coscoscoshsinsinh2abiabi此时取0EU的极限，得：022()1mbUEb22000222200222222()(2)22()mUmmmUEEUEmmEUEEU2.8一维周期场22202000002(2)2()(2)()mUEmEUEUEUEUEEEUE设，则有，1bcosh1asinhbb000021coscossin2sincos222sincos()2UEbaaaEaUEabaaEaUEabmaaEUEEa2.8一维周期场sincoscosaaa00022()(2)1abmUabmUEUE其中由此可见，只有当sincosaaa的值在-1与1之间是对应的值才是允许的能量取值，和相似。0EUa2.8一维周期场由此可见，无论是，还是只要是在周期场中运动，粒子的能量都是带状结构，叫做能带结构。0EU0EU禁带允带asincosaaa11