一维无线深方势阱

§2.7一维定态问题l在继续阐述量子力学基本原理之前，先用Schrodinger方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：l（1）有助于具体理解已学过的基本原理；l（2）有助于进一步阐明其他基本原理；l（4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。§1一维无限深势阱§2线性谐振子§3一维势散射问题l（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；§1一维无限深势阱l（一）一维运动l（二）一维无限深势阱l（三）宇称l（四）讨论（一）一维运动所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：V(x,y,z)=V1(x)+V2(y)+V3(z)形式，则S-方程可在直角坐标系中分离变量。令ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)E=Ex+Ey+Ez于是S-方程化为三个常微分方程：当粒子在势场V(x,y,z)中运动时，其Schrodinger方程为：),,(),,()],,(2[ˆ22zyxEzyxzyxVH)()()](2[)()()](2[)()()](2[322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx),,(),,(),,(222zyxEzyxzyxV),,()(2)(2)(2322222221222zyxEzVZdzdXYyVYdydXZxVXdxdYZ),,(),,()()()()()()(23212222222zyxEzyxzVyVxVzZyYxXdzddyddxdEzVZdzdZyVYdydYxVXdxdX)(21)(21)(21322222221222)()()(),,(321zVyVxVzyxV设：)()()(),,zZyYxXzyx（等式两边除以)()()](2[)()()](2[)()()](2[322222221222zZEzZzVdzdyYEyYyVdydxXExXxVdxdzyx其中zyxEEEE)()()(),,(zZyYxXzyx令：（二）一维无限深势阱l求解S—方程分四步：l（1）列出各势域的一维S—方程l（2）解方程l（3）使用波函数标准条件定解l（4）定归一化系数axaxxV||||,0)(-a0aV(x)IIIIII（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd0)(])([2)()()()()(2222222xExVxdxdxExxVxdxd-a0aV(x)IIIIIIaxxEVxdxdaxaxExdxdaxxEVxdxdIIIIIIIIIIII0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222势V(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)。则方程为：22xxIIIIIxxIeBeBxAeCeC2121)sin(000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd（3）使用波函数标准条件xIeC1从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是ψ(-a)=ψ(a)=0。.0),sin(,0IIIIIIxA则解为：)(222EV00lim)(1IaIeCa所以0III同理：-a0aV(x)IIIIII1。单值，成立；2。有限：当x-∞，ψ有限条件要求C2=0。使用标准条件3。连续：•2）波函数导数连续：l在边界x=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：l若ψI(-a)’=ψII(-a)’，则有，0=Aαcos(-αa+δ)l与上面波函数连续条件导出的结果Asin(-αa+δ)=0矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。,0)sin()()(aAaaIII1）波函数连续：.0),sin(,0IIIIIIxA.0)sin()()(aAaaIIIII-a0aV(x)IIIIII0)sin(0)sin(aAaA)2(0sin)cos(cos)sin()1(0sin)cos(cos)sin(aAaAaAaA(1)+(2))3(0sin)cos(a)4(0cos)sin(a(2)-(1)0cos0sina0sin0cosa两种情况：1cos00sin.则I由（4）式0sina),2,1,0(nannaE222因nEananE22222222222所以xanAxAIInsinsin22222anEnxanAIInsin),2,1,0(n讨论00sin00000xAEnII，时：当xakAxakAknIIksinsin时：当状态不存在描写同一状态所以n只取正整数，即),2,1(n于是：,2,1sin0nxanAIInIIIInxanA22sin或22228)2(anEn于是波函数：xanAxanAxAxAIInIIIIn212coscoscos)2sin(0211sin20cos.则II由（3）式0cosa),2,1,0()21()21(nanna222222228)12()21(22ananEn所以类似I中关于n=m的讨论可知：),2,1,0(n0sin0cosa)3(0sin)cos(a奇数。的偶数mxamAmxamAamEIIIIIIIIIIIImm2cos002sin082222综合I、II结果，最后得：对应m=2n对应m=2n+1能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4）由归一化条件定系数AdxdxdxdxIIIaIImaaIam2222||||||||dxIImaa2||oddmxdxamAevenmxdxamAaaaa12cos||12sin||2222（取实数）得：aAaA11||2[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看出，解S—方程的一般步骤如下：l一、列出各势域上的S—方程；l二、求解S—方程；l三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；l四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。（三）宇称),(),(trtrrr（1）空间反射：空间矢量反向的操作。（2）此时如果有：),(),(trtr称波函数具有正宇称（或偶宇称）；),(),(trtr称波函数具有负宇称（或奇宇称）；),(),(trtr（3）如果在空间反射下，),(),(trtr则波函数没有确定的宇称。（四）讨论一维无限深势阱中粒子的状态,3,2,18.||,2cos1;||,2sin1;||0222nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn其能量本征值为：（2）n=0,E=0,ψ=0，态不存在，无意义。而n=±k,k=1,2,...xakAxakAxakAxakAknkn2cos2cos2sin2sin可见，n取负整数与正整数描写同一状态。（1）n=1,基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。aEn822•（4）ψn*(x)=ψn(x)即波函数是实函数。.||,2cos1;||,2sin1;||0)(),(///axoddnxeanaaxevennxeanaaxextxtiEtiEtiEnnnnn（5）定态波函数偶宇称当奇宇称当)()()()()()(oddnxxevennxxnnnn（3）波函数宇称,3,2,1||)(2sin1||0/naxeaxanaaxtiEn亦可合并写成：作业l周世勋：《量子力学教程》第二章l•2.3、2.4、2.8