一维随机变量的函数的分布

一、一维离散型随机变量函数的分布二、一维连续型随机变量函数的分布三、小结第2.7.1节一维随机变量函数的分布.)(的函数为其概率分布已知。为离散型随机变量，设XXfYX问题?)(的分布求得随机变量的分布如何根据随机变量XfYX一、一维离散型随机变量函数的分布Y的可能值为;2,1,0,)1(2222即0,1,4.解}0{}0{}0{2XPXPYP,41.2的分布律求的分布律为设XYXXp210141414141例1)}1()1{(}1{}1{2XXPXPYP}1{}1{XPXP,214141}2{}4{}4{2XPXPYP,41故Y的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布律的求法.离散型随机变量函数概率分布的计算的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXfYX.)(,Xkpkxxx21kppp21的分布律为则)(XfY.,)(合并应将相应的中有相同的值若kkpxf)(XfYkp)()()(kxfxfxf21kppp21Y的分布律为Yp412121Xkp211613121例2设.52的分布律求XY解52XYp613121X-112-4-4-1第一步先求Y=2X+8的分布函数).(yFY}{)(yYPyFY}82{yXP解二、一维连续型随机变量函数的分布..,,,)(的概率密度求随机变量其它的概率密度为设随机变量820408XYxxxpXX例3)()(yFypyYxxpyXd)(28}28{yXP)28)(28(yypX第二步由分布函数求概率密度.]d)([xxpyX2821)28(ypX.,0,4280,21)28(81)(其它所以yyypY.,0,168,328其它yy的反函数。为这里其它的密度函数为随机变量的密度函数为随机变量是严格单调的可导函数设xfyyfxyyfyfpypXfYxpX。RxxfRxxfxfXYX1'110,}|)(sup{},|)(inf{,定理　定理中将改为结论也成立.yy则即函数存在且亦为严格单调增反函数因其为严格单调增函数，则若,0,0''11yfyfxxfxf证:当时y)()(yYPyFY0)(P当时y)()(yYPyFY1)(P0)()(yFypYY0)()(yFypYY当时yyXfPyYPyFY)()()()()(11yfXffP)()(11yfFyfXPX)(1)(yfXdxxpdyydFypYY)()()(1)(yfXdxxp)()(11yfyfpX)()(11yfyfpXyXfPyYPyFY0,01yfxfxf此时为严格单调减函数，则若'11yfyfpX)(1)(11yfFyfXPX)(1)(1yfXdxxp'11yfyfpypXY综上所述,当时x'11yfyfpX命题得证)(yFypYY证明X的概率密度为.,)()(xeσxpσμxX22221,)(baxxfy设,)(1abyyfx得.a])y(f[011知.)(,),(~也服从正态分布性函数的线试证明设随机变量02abaXYXσμNX例5其值域为R222)(211σμabyeσa.,π2122)(2)]([yeσaaσaμby.),(1)(yabypaypXY的概率密度为得其它由公式baXY.,0,y,])y(f[)]y(f[p)y(p11XY))(,(~2aσbaμNbaXY得请同学们思考??)(,,)(型的又怎样是连续若也是离散型随机变量吗则是离散型随机变量若是连续函数设XXfYXxf.,.,,,量不一定是连续型随机变那末续型随机变量是连若是离散型随机变量因此列无限多个的取值也是有限个或可因此或可列无限多个它的取值是有限个是离散型随机变量若YXYYX答概率密度为上服从均匀分布在设,)2,0(X例如.,,)(其他02021xxp,,,)(21110xxxxfy又设连续函数:)()(可以计算出来的分布函数则yFXfYY;0}{)(,0yYPyFyY时当;1}{)(,1yYPyFyY时当})({}{)(,10yXfPyYPyFyY时当.2d21d)(0yxxxpyy],1,0[的取值为由于Y所以,.1,110,2,0,0)(yyyyyFYY的分布函数为故.)(,)(,)(,1)(也不是离散型随机变量故不是阶梯函数又因为随机变量不是连续型故处间断在因为XfYyFXfYyyFYY三、小结1.离散型随机变量函数的分布)(XfYkp)()()(kxfxfxf21kppp21的分布律为则)(XfY的分布律为若也是离散型随机变量其函数是离散型随机变量如果XXfYX.)(,Xkpkxxx21kppp21.,)(合并应将相应的中有相同的值若kkpxf2.连续型随机变量的函数的分布方法2.,,,])([)]([)(其它011yyfyfpypXY注意条件.方法1.)()()(})({}{)()(的密度函数求导得到关于YyyFxdxxpyXfPyYPyFYyxfXY