2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第4讲幂函数

考纲要求考纲研读结合幂函数的定义及性质，以幂函数为载体可考查求参数值或参数范围．对于幂函数的图象，只需掌握五种常见函数的图象，理解不同图象间的关系；掌握与指数函数相结合的比较大小.第4讲幂函数1.了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.1x121．幂函数定义一般地，形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象：五个常用幂函数象，如图3－4－1.图3－4－1y＝xαy＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图3．幂函数y＝xα的图象，在第一象限内直线x＝1的右侧，图象由下至上，指数α___________；y轴和直线x＝1之间，图象由上至下，指数α________．4．五个常用幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1的性质幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减(0，＋∞)增增增(－∞，0)减(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)由小到大由小到大1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是()CA．(0,0)B．(0,1)C．(1,1)D．(－1，－1)A2．函数y＝43x的图象是()数为()BA．0B．1C．2D．34．如图3－4－2，曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，图3－4－23．在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个c4，c2，c3，c1已知α分别取－1,1，12，2四个值，则相应图象依次为：___________________.5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，y＝f(x)的解析式为_________.y＝12x解析：由幂函数的定义：y＝xα可知，2＝2α，∴α＝12，∴y＝12x.考点1幂函数的概念上是增函数，判断函数f(x)的奇偶性．例1：已知m∈N*，函数f(x)＝(2m－m2)·2232mmx在(0，＋∞)解析：由函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，得2m2＋3m－20，2m－m20，或2m2＋3m－20，2m－m20，即m12或m－2，0m2，或－2m12，m2或m0，∴12m2或－2m0.∵m∈N*，∴m＝1.此时f(x)＝x3，x∈R.∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．(1)幂函数y＝xα的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数．(2)幂函数的单调性：①α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数；②α0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．【互动探究】(1)幂函数；(2)正比例函数；(3)反比例函数；(4)二次函数．1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·21mmx，m为何值时，f(x)是解：(1)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2.(2)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1，m2＋2m≠0⇒m＝1.(3)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1，m2＋2m≠0⇒m＝－1.(4)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2，m2＋2m≠0⇒m＝－1±132.例2：(2011年陕西)函数y＝x的图象是(考点2幂函数的图象)B解析：因为y＝13x，由幂函数的性质，过点(0,0)，(1,1)，则只剩B，C.因为y＝xα中α＝13，图象靠近x轴，故答案为B.13【互动探究】2．图3－4－3给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()图3－4－3A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1B考点3比较大小例3：下列各不等式中正确的是()DA.221333111252B.122333111225C.212333111522D.221333111522解析：由y＝12x在(－∞，＋∞)递减知：21331122.由y＝23x在(0，＋∞)递增知：22331152.比较两个幂的大小，①如果指数相同而底数不同(即底数为变量)，此时利用幂函数的单调性来比较大小；②如果底数相同而指数不同(即指数为变量)，此时利用指数函数的单调性来比较大小；③如果两个幂指数、底数全不同，此时需要引入中间变量，常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂．B【互动探究】3．已知a＞b＞0，那么2a,2b,3a的大小关系是()A．2a＞2b＞3aB．2b＜2a＜3aC．2b＜3a＜2aD．2a＜3a＜2b思想与方法3．转化与化归思想在幂函数中的应用为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围．例题：(2011年皖北大联考)已知幂函数f(x)＝223mmx(m∈Z)(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax3＋92x2－b(x∈R)，其中a，b∈R.解析：(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋30，即m2－2m－30.∴－1m3，又m∈Z，∴m＝0,1,2而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数．m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，∴f(x)＝x4.(2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．(1)幂函数在区间(0，＋∞)上是单调增函数得幂指数－m2＋2m＋30，幂函数为偶函数，得幂指数－m2＋2m＋3为偶数．(2)若函数g(x)仅在x＝0处有极值，抓住关键字“仅”，意味着函数没有其他极值点，g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，则x2＋3ax＋9≥0恒成立，这样就将导数、极值问题转化成一个二次不等式恒成立的常规问题．1．幂函数y＝xα的性质是分α0和α0两种情况来讨论的．2．要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数．3．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性，作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象．1．幂函数y＝xα(α∈R)的幂指数α为常数，底数x是自变量，而指数函数y＝ax(a0且a≠1)的底数a为常数，指数x是自变量．2．在比较大小时要特别注意是利用指数函数的单调性还是利用幂函数的单调性，指数函数a1时单调递增，0a1时单调递减；而幂函数α0时在第一象限单调递增，α0时在第一象限单调递减．