2013年《高考风向标》高考数学(理科)一轮复习课件第三章第8讲函数模型及其应用

考纲要求考纲研读1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.函数模型及其应用是高考的重点．函数除了涉及方程、不等式、数列等知识，还可渗透到三角、立体几何、解析几何，甚至还呈现于概率知识中，它具有题源丰富、跨学科综合的特征．解题时应注意把握问题主线，明确问题实质，运用有关知识进行转换.第8讲函数模型及其应用1．学习过的基本初等函数主要有指数函数一次函数、二次函数、正(反)比例函数、三角函数、________、__________、_________等．对数函数幂函数要熟练掌握这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题．2．用基本初等函数解决非基本函数问题的途径(1)化整为零：即将非基本函数“拆”成基本初等函数，以便用已知知识解决问题．(2)图象变换：某些非基本函数的图象可看成是由基本初等函数图象通过图象变换得到的，搞清了变换关系，便可借助基本初等函数解决非基本函数问题．二次函数模型3．在解决某些应用问题时，通常要用到的一些函数模型____________、____________、____________、___________、____________、分式函数模型、分段函数模型等．4．三种函数增长的条件：幂函数模型当a1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数的增长就越快．一次函数模型指数函数模型对数函数模型当a1时，对数函数y＝logax是增函数，并且当a越小时，其函数的增长就越快．当x0，n0时，幂函数y＝xn是增函数，并且当n越大时，其函数的增长就越快．5．三种函数增长速度的比较直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义：当a1，n0时，那么当x足够大时，一定有指数函数值增长快于幂函数值增长，幂函数值增长快于对数函数值增长．也就是说，指数函数值增长最快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．1．某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价()DA．10%B.9%C.11%D．1119%2．有一块长为20厘米，宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．则盒子的容积V与x的函数关系式是()A．V＝x(20－2x)(12－2x)，x∈(0,12)B．V＝x(20－x)(12－x)，x∈(0,12)C．V＝x(20－2x)(12－2x)，x∈(0,6)D．V＝x(20－2x)(12－2x)，x∈(0,10)Ｃ3．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．则：(1)总成本C(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为_________________________；C＝200＋0.3x(x∈N*)(2)单位成本P(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为__________________________；＋0.3(x∈N*)P＝200x(3)销售收入R(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为________________________；R＝0.5x(x∈N*)(4)利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为___________________________．L＝0.2x－200(x∈N*)4．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为______________________．5．已知函数y1＝2x和y2＝x2.当x∈(2,4]时，函数_________的值增长快；当x∈(4，＋∞)时，函数________的值增长快．y＝20－2x(5＜x＜10)y2＝x2y1＝2x考点1正比例、反比例和一次函数类的实际问题例1：某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．某顾客需要购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更划算．解析：由优惠办法(1)可得函数关系式：y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)．由优惠办法(2)可得函数关系式：y2＝(5x＋4×20)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)．比较：y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)．①当0.4x－13.60，即x34时，y1y2，即当购买茶杯个数大于34时，优惠办法(2)合算．②当0.4x－13.6＝0，即x＝34时，两种优惠办法一样合算．③当0.4x－13.60，即4≤x34时，y1y2，优惠办法(1)合算．本题考查的是建立一次函数模型，并应用一次函数模型解决实际问题的能力．第一种优惠办法，实际付款是4个茶壶的钱和(x－4)个茶杯的钱．第二种优惠办法只需将货款总数乘以92%，而后再作差比较二者的大小即可．【互动探究】1．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，批物资至少需要()A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时若车速为v千米/时，且两车的距离不能小于v102千米，则运完这C考点2分段函数类的实际问题例2：某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？千件，需另投入成本为C(x)．当年产量不足80千件时，C(x)＝13x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋10000x－解析：(1)当0x80时，L(x)＝0.05×1000x－13x2－10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80时，L(x)＝0.05×1000x－51x－10000x＋1450－250＝1200－x＋10000x.所以L(x)＝－13x2＋40x－2500x80，1200－x＋10000xx≥80.所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．(2)当0x80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1200－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000.此时，当x＝10000x时，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．现实生活中有很多问题是用分段函数表示的，如出租车计费，个人所得税计算，邮政资费等等，故分段函数是刻画现实生活的重要模型．本题的分段函数考查二次函数前者配方，后者利用基本不等式．【互动探究】2．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的关系式：f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋430x≤10，5910x≤16，－3x＋10716x≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？(2)一个数学难题，需要55(或以上)的接受能力，上课开始30分钟内，求能达到该接受能力要求的时间共有多少分钟？(3)如果每隔5分钟测量一次学生的接受能力，再计算平均值M＝f5＋f10＋…＋f306，它能高于45吗？故当0x≤10时，f(x)递增，最大值为：f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59.显然，当16x≤30时，f(x)递减，f(x)－3×16＋107＝59.因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力，并维持6分钟．(2)依题意，当0x≤10时，令f(x)≥55，则(x－13)2≤49.∴6≤x≤10.当10x≤16时，f(x)＝59符合要求．解：(1)0x≤10时，有f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.当16x≤30时，令f(x)≥55，则x≤1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113(分钟)．(3)f(5)＝53.5，f(10)＝59，f(15)＝59，f(20)＝47，f(25)＝32，f(30)＝17，∴M＝53.5＋59＋59＋47＋32＋176≈44.645.故平均值不能高于45.考点3二次函数类的实际应用题例3：某市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P元和时间t(t∈N)的关系如图3－8－1所示．(1)写出销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式；(2)若日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q＝－t＋40(0≤t≤30，t∈N)，求该商品的日销售金额y(元)与时间t(天)的函数解析式；(3)问该产品投放市场第几天时，日销售额最高，最高值为多少元？图3－8－1解析：(1)①当0≤t25，t∈N时，设P＝at＋b，将(0,19)，(25,44)代入，得19＝b，44＝25a＋b，解得a＝1，b＝19.∴P＝t＋19(0≤t25，t∈N)．②当25≤t≤30，t∈N时，设P＝at＋b，将(25,75)，(30,70)代入，解得a＝－1，b＝100.∴P＝－t＋100(25≤t≤30，t∈N)．综上所述P＝t＋190≤t25，t∈N，－t＋10025≤t≤30，t∈N.(2)依题意，有y＝P·Q，得y＝t＋19－t＋400≤t25，t∈N，－t＋100－t＋4025≤t≤30，t∈N，化简得y＝－t2＋21t＋7600≤t25，t∈N，t2－140t＋400025≤t≤30，t∈N.(3)y＝－t－2122＋870.250≤t25，t∈N，t－702－90025≤t≤30，t∈N.当0≤t25，t∈N时，由二次函数的性质知：t＝10或t＝11时，y有最大值870元．当25≤t≤30，t∈N时，7030，函数在[25,30]上是减函数，因此t＝25时，y有最大值1125元，因为1125870，所以在第25天日销售额最大，最大值为1125元．二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值在区间的端点处取得．另外在实际的问题中，还要考虑自变量为整数的问题．【互动探究】3．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x(x∈N)的关系为y＝－x2＋20x－36.(1)每辆客车从第几年起开始盈利？(2)每辆客车营运多少年，可使其营运的总利润最大？(3)每辆客车营运多少年，可使其营运的平均利润最大？解：(1)y＝－x2＋20x－360，即x2－20x＋360.解得2x18，所以每辆客车从第3年起开始盈利．(2)y＝－x2＋20x－36＝－(x－10)2＋64，即每辆客车营运10年，可使其营运的总利润最大．(3)yx＝－x2＋20x－36x＝－x－36x＋20＝－x＋36x＋20≤2x·36x＋20＝32，当且仅当x＝36x即x＝6时等号成立．即每辆客车营运6年，可使其营运的平均利润最大．考点4实际应用中对模拟函数的优化