2016届高三数学一轮复习 第2篇 第4节 指数函数课件 理

第4节指数函数最新考纲1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象.编写意图指数函数是基本初等函数之一,是一种十分重要的函数,其图象与性质是高考重点考查的内容,本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出指数函数概念的理解、指数函数图象与性质的简单应用,难点突破利用指数函数图象与性质的综合应用,如比较幂值的大小、解简单的指数不等式、确定参数的取值或取值范围,分类讨论思想、转化与化归思想及数形结合思想的应用.考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理1.根式见附表2.有理数指数幂正分数指数幂:mna=nma负分数指数幂:mna=1mna=1nma概念0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义(a0,m,n∈N*,且n1)ar·as=ar+s(ar)s=ars运算性质(ab)r=arbra0,b0,r,s∈Q3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.4.指数函数的概念、图象与性质见附表质疑探究:如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系如何?你能得到什么规律?(提示:图中直线x=1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1d11a1b1,∴cd1ab.一般规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大)基础自测1.化简3322411423ababbaba(a0,b0)的结果是()(A)ba(B)ab(C)a2b(D)abD解析:原式=1122323311233abababab=3111263a·111233b=ab.2.(2014郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1(a0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是()(A)(1,5)(B)(1,4)(C)(0,4)(D)(4,0)A解析:由a0=1知,当x-1=0,即x=1时,f(1)=5,即图象必过定点(1,5).3.设函数f(x)=a-|x|(a0,且a≠1),f(2)=4,则()(A)f(-2)f(-1)(B)f(-1)f(-2)(C)f(1)f(2)(D)f(-2)f(2)A解析:由a-2=4,a0,得a=12,∴f(x)=(12)-|x|=2|x|.f(x)是偶函数,结合图象知选A.4.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围是.解析:由题意知0a2-11,即1a22,得-2a-1或1a2.答案:(-2,-1)∪(1,2)5.下面结论正确的是.(请在横线上写出所有正确命题的序号)①444=-4.②241=121=1.③函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.④函数f(x)=1+ax-2(a0且a≠1)的图象恒过定点P(2,2).⑤函数y=a-x是R上的增函数.⑥若aman(a0且a≠1),则mn.解析:①错误,应该是444=|-4|=4.②错误,应该是241=241=41=1.③正确,两个函数均不符合指数函数的定义.④正确,当x-2=0即x=2时,f(2)=2,因此图象恒过定点P(2,2).⑤错误,当0a1时,函数y=a-x是R上的增函数;当a1时,函数y=a-x是R上的减函数.⑥错误,当a1时,mn;而当0a1时,mn.答案:③④考点突破剖典例找规律考点一【例1】求值与化简:(1)1322×076+148×42+(32×3)6-2323;(2)352ab·53343ba.指数幂的运算解:(1)原式=1323×1+342×142+(132×122)6-1323=2+4×27=110.(2)352ab·53343ba=33212a·321510b=54a=a4a.反思归纳指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.【即时训练】化简下列各式:(1)0.02137-(17)-2+12729-(2-1)0;(2)1356ab-2(-312ab-1)÷122334ab·ab.解:(1)原式=1330.3-72+12259-1=103-49+53-1=-45.(2)原式=13652ab÷21332ab·1122ab=-132254ab·1122ab=-54b.指数函数的图象及应用考点二【例2】(1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()(2)(2014烟台模拟)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()(A)a1,b0(B)a1,b0(C)0a1,b0(D)0a1,b0(3)k为何值时,方程|3x-1|=k无解?有一解?有两解?解析:(1)将函数解析式与图象对比分析,因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.故选A.(2)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1,函数f(x)=ax-b的图象是在y=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.故选D.(3)解:函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解;当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解;当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解.【变式】若将本例(3)变为函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围如何?解:由本例(3)作出的函数y=|3x-1|的图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以k∈(-∞,0].反思归纳指数函数图象可解决的两类热点问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解.(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论.指数函数的性质及应用考点三【例3】(1)(2014宁波模拟)设y1=40.7,y2=80.45,y3=(12)-1.5,则()(A)y3y1y2(B)y2y1y3(C)y1y2y3(D)y1y3y2(2)(2014天津六校三模)设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=,,,,fxfxKKfxK给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则()(A)K的最大值为0(B)K的最小值为0(C)K的最大值为1(D)K的最小值为1解析:(1)因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35,y3=(12)-1.5=21.5,又函数y=2x在R上为增函数,且1.351.41.5,所以21.3521.421.5,即y2y1y3.故选A.(2)根据给出的定义,fK(x)是在函数y=f(x),y=K中取较小者.对任意的x∈(-∞,1]上恒有fK(x)=f(x),等价于对任意的x∈(-∞,1]上恒有f(x)≤K,等价于f(x)max≤K,x∈(-∞,1].令t=2x∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x,即为函数(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1≤1,故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1,即K≥1.故选D.反思归纳应用指数函数性质的常见题型及求解策略题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解研究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致提醒:在研究指数型函数的单调性时,当底数与“1”的大小关系不明确时,要分类讨论.【即时训练】(1)设函数f(x)的定义域为R,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有()(A)f(13)f(32)f(23)(B)f(23)f(32)f(13)(C)f(23)f(13)f(32)(D)f(32)f(23)f(13)(2)(2015中山月考)设函数f(x)=17,0,2,0,xxxx若f(a)1,则实数a的取值范围是()(A)(-∞,-3)(B)(1,+∞)(C)(-3,1)(D)(-∞,-3)∪(1,+∞)解析:(1)由题意,得f(13)=f(1-23)=f(1+23)=f(53),发(23)=f(1-13)=f(1+13)=f(43).因为1433253,且f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f(43)f(32)f(53),即f(23)f(32)f(13),故选B.(2)若a0,则由f(a)1得(12)a-71,即(12)a8,(12)a(12)-3,所以-3a0;若a≥0,则由f(a)1得a1,所以0≤a1.综上a∈(-3,1).故选C.思想方法融思想促迁移利用转化思想解决与指数函数有关的最值问题【典例】函数y=(14)x-(12)x+1在x∈[-3,2]上的值域是.解析:y=(14)x-(12)x+1=[(12)x]2-(12)x+1=[(12)x-12]2+34,令t=(12)x,则y=(t-12)2+34(14≤t≤8),当t=12时,ymin=34,当t=8时,ymax=57,所以函数y的值域为[34,57].答案:[34,57]方法点睛对于含ax、a2x的表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.【即时训练】方程(12)x-1+(14)x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是()(A)(-∞,1)(B)(-∞,-2)(C)(-3,-2)(D)(-3,0)解析:令t=(12)x,因为方程有正根,所以t∈(0,1),则方程可转化为t2+2t+a=0,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选B.助学微博1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.2.指数函数y=ax(a0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a1与0a1.3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.4.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.