2012届高考数学文科一轮复习精选课件(新人教A版)：3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

学案5两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点1考点2填填知学情课内考点突破规律探究考纲解读考向预测考点3返回目录考纲解读两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.考向预测在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力，故求值题仍将是今后命题的重点内容.返回目录返回目录1.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α-β))cos(α+β)=(C(α+β))sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ(S(α-β))sin(α+β)=(S(α+β))tan(α-β)=(T(α-β))tan(α+β)=(T(α+β))tantan1tan-tantantan-1tantancosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ前面4个公式对任意的α,β都成立,而后面两个公式成立的条件是α≠kπ+,β≠kπ+,k∈Z,且α+β≠kπ+(T(α+β)需满足),α-β≠kπ+(T(α-β)需满足)k∈Z时成立,否则是不成立的.当tanα,tanβ或tan(α±β)的值不存在时,不能使用公式T(α±β)处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法求解.2.要辨证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当的变换:α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(α+β)-(β-α)等.2222返回目录3.二倍角公式sin2α=;cos2α===;tan2α=.4.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形应用等.如T(α±β)可变形为:tanα±tanβ=,tanαtanβ==.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2tan-12tan)tantan)(1tan()tan(tantan-11)tan(tantan返回目录5.函数f(α)=acosα+bsinα(a,b为常数),可以化为f(α)=或f(α)=,其中可由a,b的值唯一确定.)sin(ba22)cos(ba22φ返回目录【分析】注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.考点1三角函数的化简求值求［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·的值.3o2802sin返回目录【解析】原式=〔2sin50°+sin10°×(1+)〕·sin80°=(2sin50°+sin10°×)·sin80°=(2sin50°+2sin10°×)·cos10°=(2sin50°+)·cos10°=·2cos10°=2sin60°=2×=.cos10sin103oo2cos10sin103cos10ooo22cos10sin103cos1021ooo2cos10sin402sin10ooo2cos102sin60oo22236返回目录对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.返回目录求下列各式的值:（1）;（2）sin8sin15-cos7sin8cos15sin7+.cos55cos50cos40cos35)tan103·(1cos102sin50+++返回目录3230tan130tan1)3045tan(15tancos8cos15cos8sin15sin8sin15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15-)8-cos(15sin8cos15)8-sin(15(1)原式返回目录.225cos5cos225cos95sin22cos5)2250cos2250(sin22cos550cos22sin50cos5)2310sin2110(cos22sin50)35cos(40sin103cos102sin50sin40sin35cos40cos35)cos10sin103·(1cos102sin50=×==×+×=+=×+×+=++=+++=-（2）原式返回目录已知tanα=-,cosβ=,α,β∈(0,π).(1)求tan(α+β)的值；（2）求函数f(x)=sin(x-α)+cos(x+β）的最大值.考点2三角函数的给值求值问题55312【分析】(1)先求出tanβ的值,再求tan(α+β)的值.(2)求出α,β的正、余弦，再展开化简.返回目录【解析】(1)由cosβ=,β=(0,π),得sinβ=,tanβ=2,所以tan(α+β)==1.(2)因为tanα=-,α∈(0,π),所以sinα=,cosα=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.55315tantan-1tantan55210110355355555525返回目录对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧.返回目录已知α为第二象限角,sinα=,β为第一象限角,cosβ=,求tan(2α-β)的值.13553【解析】解法一:,∵α为第二象限角,sinα=,∴cosα=,∴tanα=.∴tan2α=.∵β为第一象限角,cosβ=,∴sinβ=,∴tanβ=,∴tan(2α-β)=.tan2tan1tan2tan)2tan(5354sin1243cossin724tan1tan221351312cos125122532045127241512724返回目录解法二：∵α为第二象限角，sinα=,∴cosα=.∵β为第一象限，cosβ=,∴sinβ=.故sin2α=2sinαcosα=,cos2α=1-2sin2α=,sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=-,cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ=-,∴tan(2α-β)=.13554sin-121312cos-12532524257325253325204253204)-cos(2)-sin(2返回目录若sinα=,sinβ=,且α,β为锐角,求α+β的值.【分析】欲求α+β,先求α+β的一个三角函数值,再由α,β的范围确定出α+β的值.考点3给值求角问题551010【解析】∵α,β为锐角,且sinα=,sinβ=,∴cosα=,cosβ=.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=.又α,β均为锐角,∴0α+βπ,∴α+β=.55101055210103224返回目录(1)通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,可遵照下列原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围是()，选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:①求角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围写出所求的角.22,2返回目录已知0α,0β,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.4242返回目录由4tan=1-tan2,得由3sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,得tan(α+β)=2tanα,∴tan(α+β)=1.又∵0α,0β,∴0α+β,∴α+β=.22.212122tan2tantan4424返回目录1.巧用公式变形:和差角公式变形:tanx±tany=tan(x±y)·(1tanx·tany);倍角公式变形:降幂公式cos2α=,sin2α=;配方变形：1±sinα=（sin±cos）2,1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2.2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asinα+bcosα=sin(α+φ)其中tanφ=有：≥|y|.2cos2α12cos2α12α2α2α2α22baab22ba返回目录3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.返回目录5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本学案要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.返回目录