逆向思维与统计研究

1聚类分析吴喜之2聚类•俗语说，物以类聚、人以群分。•但什么是分类的根据呢？•比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多种分类法；•可以按照自然条件来分，•比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面；•也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础设施等指标；•既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项指标来分类。3聚类分析•对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行分类）。•比如学生成绩数据就可以对学生按照理科或文科成绩（或者综合考虑各科成绩）分类，•当然，并不一定事先假定有多少类，完全可以按照数据本身的规律来分类。•本章要介绍的分类的方法称为聚类分析（clusteranalysis）。对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为Q型聚类。这两种聚类在数学上是对称的，没有什么不同。4饮料数据（drink.sav）•16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量5如何度量远近？•如果想要对100个学生进行分类，如果仅仅知道他们的数学成绩，则只好按照数学成绩来分类；这些成绩在直线上形成100个点。这样就可以把接近的点放到一类。•如果还知道他们的物理成绩，这样数学和物理成绩就形成二维平面上的100个点，也可以按照距离远近来分类。•三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以上的图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中，每种饮料都有四个变量值。这就是四维空间点的问题了。6两个距离概念•按照远近程度来聚类需要明确两个概念：一个是点和点之间的距离，一个是类和类之间的距离。•点间距离有很多定义方式。最简单的是歐氏距离，还有其他的距离。•当然还有一些和距离相反但起同样作用的概念，比如相似性等，两点越相似度越大，就相当于距离越短。•由一个点组成的类是最基本的类；如果每一类都由一个点组成，那么点间的距离就是类间距离。但是如果某一类包含不止一个点，那么就要确定类间距离，•类间距离是基于点间距离定义的：比如两类之间最近点之间的距离可以作为这两类之间的距离，也可以用两类中最远点之间的距离作为这两类之间的距离；当然也可以用各类的中心之间的距离来作为类间距离。在计算时，各种点间距离和类间距离的选择是通过统计软件的选项实现的。不同的选择的结果会不同，但一般不会差太多。7向量x=(x1,…,xp)与y=(y1,…,yp)之间的距离或相似系数:2()iiixy欧氏距离:Euclidean平方欧氏距离:SquaredEuclidean2()iiixy夹角余弦(相似系数1):cosine22(1)cosiiixyxyiiiixyCxyPearsoncorrelation(相似系数2):Chebychev:Maxi|xi-yi|Block(绝对距离):Si|xi-yi|Minkowski:1()qqiiixy当变量的测量值相差悬殊时,要先进行标准化.如R为极差,s为标准差,则标准化的数据为每个观测值减去均值后再除以R或s.当观测值大于0时,有人采用Lance和Williams的距离||1iiiiixypxy22()()(2)()()iiixyxyiiiixxyyCrxxyy8类Gp与类Gq之间的距离Dpq(d(xi,xj)表示点xi∈Gp和xj∈Gq之间的距离)min(,)pqijDdxx最短距离法:最长距离法:重心法:离差平方和:(Wald)类平均法:(中间距离,可变平均法,可变法等可参考各书).在用欧氏距离时,有统一的递推公式(假设Gr是从Gp和Gq合并而来):12121212()'(),()'(),()'()ipjqkpqipipjqjqxGxGkipqxGGDxxxxDxxxxDxxxxDDDDmax(,)pqijDdxxmin(,)pqpqDdxx121(,)ipjqpqijxGxGDdxxnn9Lance和Williams给出(对欧氏距离)统一递推公式:D2(k,r)=apD2(k,p)+aqD2(k,q)+bD2(p,q)+g|D2(k,p)-D2(k,q)|前面方法的递推公式可选择参数而得:方法ai(i=p,q)bg最短距离½0-1/2最长距离½01/2重心ni/nr-apaq0类平均ni/nr00离差平方和(ni+nk)/(nr+nk)-nk/(nr+nk)0中间距离1/2-1/40可变法(1-b)/2b(1)0可变平均(1-b)ni/nrb(1)010有了上面的点间距离和类间距离的概念，就可以介绍聚类的方法了。这里介绍两个简单的方法。11事先要确定分多少类：k-均值聚类•前面说过，聚类可以走着瞧，不一定事先确定有多少类；但是这里的k-均值聚类（k-meanscluster，也叫快速聚类，quickcluster）却要求你先说好要分多少类。看起来有些主观，是吧！•假定你说分3类，这个方法还进一步要求你事先确定3个点为“聚类种子”(SPSS软件自动为你选种子)；也就是说，把这3个点作为三类中每一类的基石。•然后，根据和这三个点的距离远近，把所有点分成三类。再把这三类的中心（均值）作为新的基石或种子（原来的“种子”就没用了），重新按照距离分类。•如此叠代下去，直到达到停止叠代的要求（比如，各类最后变化不大了，或者叠代次数太多了）。显然，前面的聚类种子的选择并不必太认真，它们很可能最后还会分到同一类中呢。下面用饮料例的数据来做k-均值聚类。12•假定要把这16种饮料分成3类。利用SPSS，只叠代了三次就达到目标了（计算机选的种子还可以）。这样就可以得到最后的三类的中心以及每类有多少点FinalClusterCenters203.1033.71107.341.654.163.4913.0510.068.763.152.692.94CALORIECAFFEINESODIUMPRICE123ClusterNumberofCasesineachCluster2.0007.0007.00016.000.000123ClusterValidMissing13根据需要，可以输出哪些点分在一起。结果是：第一类为饮料1、10；第二类为饮料2、4、8、11、12、13、14；第三类为剩下的饮料3、5、6、7、9、15、16。15事先不用确定分多少类：分层聚类•另一种聚类称为分层聚类或系统聚类（hierarchicalcluster）。开始时，有多少点就是多少类。•它第一步先把最近的两类（点）合并成一类，然后再把剩下的最近的两类合并成一类；•这样下去，每次都少一类，直到最后只有一大类为止。显然，越是后来合并的类，距离就越远。再对饮料例子来实施分层聚类。16•对于我们的数据，SPSS输出为17例:5个样品距离阵令Dk为系统聚类法种第k次合并时的距离,如{Dk}为单调的,则称具有单调性.前面只有重心和中间距离法不具有单调性.0070()160938085740ijDd步骤:最短距离法最长距离法阶段bk(第k阶段类的集合)DkDkD(0)(1)(2)(3)(4)(5)00D(1)(1,3)(2)(4)(5)11D(2)(1,3)(2,4)(5)33D(3)(1,3)(2,4,5)45D(4)(1,3,2,4,5)69注:最短和最长距离法结果一样(一般不一定一样)18聚类要注意的问题•聚类结果主要受所选择的变量影响。如果去掉一些变量，或者增加一些变量，结果会很不同。•相比之下，聚类方法的选择则不那么重要了。因此，聚类之前一定要目标明确。•另外就分成多少类来说，也要有道理。只要你高兴，从分层聚类的计算机结果可以得到任何可能数量的类。但是，聚类的目的是要使各类之间的距离尽可能地远，而类中点的距离尽可能的近，而且分类结果还要有令人信服的解释。这一点就不是数学可以解决的了。32聚类分析结束回到选择？