Berry位相与拓扑不变量量子自旋霍尔效应与拓扑绝缘体应用： (a)电阻

第四章维度4.1半导体低维电子系统4.2二维体系中的相变4.3准一维体系的Peierls不稳定性和电荷密度波4.1半导体低维电子系统1.维度三维自由电子气体，沿z方向对体系的尺寸限制：zW02202222)21(:)21)((,2,2)(2)(nzmzVnWmWnxykmkknnnn对于抛物线型的限制势为电子的波长如限制势为方势阱：平面上的分量。是波矢在Fn=1kn=2电子只占据n=1的子带，二维体系n1也占据，准二维体系2.Si反型层及GaAs-AlGaAs异质结金属SiO2耗尽层反型层FgeV导带价带F价带导带zAsGaAlxx1GaAsnmlsVcmcmnnmeVxse4226421110~10/10101042~,067.03.0,3.0程长的弹性散射平均自由～高迁移率：电子有效质量导带底能量差～nmlsVcmcmVnmeVmSigse120~40:/1010)10~1(~202.0)100(2421112弹性散射平均自由程迁移率：表面电子的有效质量：Splitgatesandone-dimensionalelectrongasesThissplit-gatetechniquewaspioneeredbytheSemiconductorPhysicsGroupattheCavendishLaboratoryoftheUniversityofCambridge,inEngland,in1986,byTrevorThorntonandProfessorMichaelPepper.3.量子化霍尔效应（QuantumHallEffects(QHE))(1)霍尔效应基础E.Hall,Am.J.Math.2,287(1879)=HalleffectI+-V’VcurrentsourceresistivityHallvoltageBxyzd根据德鲁特电导理论,金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速,散射后速度为零.t称为弛豫时间.电子的平均迁移速度为:meEvd/t电流密度为:Enevjd0mne/20t若存在外加静磁场,则电导率和电阻率都变为张量yyyxxyxxyyyxxyxx,此处jEEj,仍成立有磁场时,加入罗仑兹力,电子迁移速度为mcBvEevddt)(稳态时,,假定磁场沿z方向,在xy平面内dnevjyxcyxycxjjEjjEtt00mceBc202000)(1,)(1,1ttttccyxxycyyxxcyxxyyyxx易得2222,xyxxxyxyxyxxxxxx如果,则当为0时也为0.0xyxxxx另一方面tcxxxyBnec由此,当时,,为霍尔电导0xxyxyxEjxyBnecxyH在量子力学下（E沿x方向）eExceAPmH2)(21选择矢量势)0,,0(BxA波函数为)()()(212)(),(222222xxeExklxmdxdmxeyxyccyiky21eBclc经典回旋半径xxyxyxyEEj,...3,2,1,0,])([),()2()21()(2200]2)([)(22220imeEklxlxxHeeyxmeEkleEiEcyccilxxyikicyccicy解为：Landau能级Intwo-dimensionalsystems,theLandauenergylevelsarecompletelyseperatewhileinthree-dimensionalsystemsthespectrumiscontinuousduetothefreemovementofelectronsinthedirectionofthemagneticfield.计算平均速度011**drximvBEcdrceBxyimviixiiyBneEcjy与经典结果相同.在Landau能级上,纵向电流为0.(2)整数量子霍尔效应1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导,1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert发现霍尔平台,但直到1980年,才注意到霍尔平台的量子化单位,2ehK.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper,Phys.Rev.Lett.45,495(1980)forasufficientlypureinterface(Si-MOSFET)=integerquantumHalleffectTheNobelPrizeinPhysics1985forthediscoveryofthequantizedHalleffect.K.vonKlitzing（1943~）实验设置示意图实验观测到的霍尔电阻1,霍尔电阻有台阶,2,台阶高度为,i为整数,对应于占满第i个Landau能级,精度大约为5ppm.3,台阶处纵向电阻为零.2ieh由于杂质的作用,Landau能级的态密度将展宽(如下图).两种状态:扩展态和局域态只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下),因此若扩展态的占据数不变,则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中时,出现霍尔平台.Laughlin(1981)和Halperin(1982)基于规范变换证明：iehGiRhcieBnLandauihceBEgLandaumEgBnecGFermiHHcFH221)()(2)()(能级：个如电子占据简并度能级加磁场＝无外磁场，能级处于能隙中如Whentheselevelsarewellresolved,ifavoltageisappliedbetweentheendsofasample,thevoltagedropbetweenvoltageprobesalongtheedgeofasamplecangotozeroinparticularrangesofB,andtheHallresistancebecomesextremelyaccuratelyquantisedAB效应、Berry位相与拓扑不变量量子自旋霍尔效应与拓扑绝缘体应用：(a)电阻标准)102(806.25812199082精度～年起，电阻标准：自eh应用：(b)精细结构常数的测量022hce(3)分数量子霍尔效应1982年,崔琦,H.L.Stomer等发现具有分数量子数的霍尔平台,一年后,R.B.Laughlin写下了一个波函数,对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.D.C.Tsui,H.L.Stormer,andA.G.Gossard,Phys.Rev.Lett.48,1559(1982)foranextremelypureinterface(GaAs/AlGaAsheterojunction)whereelectronscouldmoveballistically=fractionalquantumHalleffectR.B.Laughlin,Phys.Rev.Lett.50,No.18(1983)TheNobelPrizeinPhysics1998RobertB.Laughlin(1950)DANIELC.TSUI(1939)HorstL.Stormer(1949)fortheirdiscoveryofanewformofquantumfluidwithfractionallychargedexcitations.分数量子霍尔效应:崔琦,Stomer等发现,当Landau能级的占据数为整数mpmpEghnvc,,)(有霍尔平台分数量子霍尔效应不可能在单粒子图象下解释,引入相互作用jijiiiiirrerVceApmH22)(21在超强磁场下,电子位于第一Landau能级.其单粒子波函数为iyxzmIzzmcmm,!2)4/||exp(122*这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动)1(2||||22mlmzmcLaughlin建议了如下形式的波函数jikckmjilzzzz)4/exp()()(22这一状态的占据数为mv1Laughlin计算了m=3,m=5时这一波函数的能量,发现比对应密度下CDW的能量要低.这一状态称为分数量子霍尔态,或Laughlin态,当密度改变从而偏离占据数1/3,1/5时,对应于准粒子激发,激发谱具有能隙,准粒子的电荷为分数(1/3,1/5).因此Laughlin态是一个不可压缩的量子液体状态.FQHE态.绿球代表被暂时冻结的电子,蓝色为代表性电子的电荷密度,黑色箭头代表磁通线.3/1v同IQHE一样,Fermi能级处于能隙位置时,出现FQHE平台.不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化,而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane和Halperin,利用级联模型,指出Laughlin态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态,如从1/3态出发,加入准粒子导致2/5态,加入空穴导致2/7态.准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态.P为偶数,对应于粒子型元激发对应于空穴型元激发11mppv级联模型的特点:1.无法解释那一个子态是较强的态.2.几次级联后,准粒子的数目将超过电子的数目.3.系统在分数占据数之间没有定义.4.准粒子具有分数电荷.复合费米子模型(CF)一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成.复合费米子包含了所有的多体相互作用.FQHE是CF在一个有效磁场下的IQHE.CF具有整数电荷.CF模型可以给出所有观察到的分数态,包括这些态的相对强度及当减小温度,提高样品质量时出现的次序.CF指出:v=1/2态,对应的有效磁场为0,是具有金属特征的特殊状态.新进展•观察到分数电荷涨落.•FQHE的GinsburgLandau理论.•费米,玻色和分数统计.•边缘态和共形场论.•…利用一维结观察分数电荷C.L.KaneandM.P.A.Fisher,ShotintheArmforFractionalCharge,Nature389,119(1997).TheQuantumHalleffect(QHE)isoneexampleofaquantumphenomenonthatoccursonatrulymacroscopicscale.ThesignatureofQHEisthequantizationplateausintheHallresistance(Rxy)andvanishingmagnetoresistance(Rxx)inamagneticfield.TheQHE,exclusivetotwo-dimensionalmetals,hasledtotheestablishmentofanewmetrologicalstandard,theresistancequantum,,thatcontainsonlyfundamentalconstant.Aswithmanyotherquantumphenomena,theobservationoftheQHEusuallyrequireslowtemperatures(previouslyreportedhighesttemperaturewas30K).Ingraphene,asingleatomiclayerofgraphite,however,wehaveobservedawell-definedQHEatroomtemperatureowingtotheunusualelectroni