Bessel函数应用例

《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例1/23《复变函数与数理方程》Project名称：Bessel函数应用例组别：第十三组小组成员：唐文岐、高成振、林慧平、邹三泳、郭凯《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例2/23目录封面………………………………………………………………………1目录………………………………………………………………………2文章说明…………………………………………………………………3摘要………………………………………………………………………3关键词……………………………………………………………………3正文………………………………………………………………………4Section1Bessel函数在衍射中的应用……………………………4一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式……………………………4二，衍射的分类……………………………………………………5三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立…………………………6四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导…………………………6五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导…………………………8六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导…………………11Section2Bessel函数在通信电路中的应用………………………14一，单音信号的调频………………………………………………15二，贝塞尔函数的渐进公式………………………………………16三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系…………………………17四，卡森公式的推导………………………………………………20五，贝塞尔函数级数展开的理论说明……………………………21总结……………………………………………………………………22参考文献………………………………………………………………23《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例3/23文章说明：本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel函数的魅力有更深一些的理解。摘要：物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。关键词：Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例4/23正文Section1Bessel函数在衍射中的应用一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式衍射可由惠更斯-菲涅尔原理解释：惠更斯提出，媒介上波阵面的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包迹，就是该时刻新的波阵面。菲涅尔完善了惠更斯原理，他提出波前上每个面元都可以视为子波的波源，在空间某点P的振动是所有这些子波在该点产生的相干振动的叠加，称为惠更斯-菲涅尔原理，即̃()∑̃()()∑∑其中，̃()为点(振动点)的复振幅，为比例常数，̃()为点(点光源)的复振幅，()为倾斜因子，为球面波因子，为次波中心周围面元的面积，和分别是场源和场点相对于次波面元的方向角。《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例5/23取一个封闭的波前(连续分布的曲面)，则所有次波中心发出的次波在点的复振幅就是以下的曲面积分：̃()∑̃()()∑基尔霍夫导出−𝑖𝜆𝜆，倾斜因子()(𝑠𝑠)，因此得到：̃()𝜆∑̃()(𝑠𝑠)∑称为菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，可以用来处理光的衍射问题。二，衍射的分类光的衍射主要分为2种：菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。光源和观察点距障碍物为有限远的衍射称为菲涅尔衍射；光源和观察点距障碍物为无限远的衍射，即平行光衍射为夫琅禾费衍射。《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例6/23三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立：点发出沿任意方向光线𝑟，与光轴夹角为。过中心𝑂点作与𝑟同方向的光线𝑟，取坐标如下：𝑟与轴线所在平面为𝑥𝑂𝑧平面，𝑧为光轴。过作与𝑟，𝑟垂直的平面，与𝑟和x轴分别交于𝐵，𝐴点，则𝐴，𝐵与r垂直。𝑟与𝑦𝑂𝑧平面交角为。𝐴，两点发出的次波是等光程的，则任一点点发出的次波与中心店𝑂发出的次波间的光程差为𝑂𝐴在𝑟上的投影，即𝛥𝑟−𝐴𝑂𝑠𝑖𝑛−𝑂𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛−𝜌𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛̃()̃(𝜌𝜑)()()∑̃()𝑒𝑖∬𝑒−𝑖𝑖𝜌𝜑𝜌（取实部）̃()𝑒𝑖∫𝜌𝜌∫(𝜌𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛)𝜑四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导上面已经得到：̃()̃()𝑒𝑖∫𝜌𝜌∫(𝜌𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛)𝜑《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例7/23令𝑖𝜆𝑠𝑖𝑛，则有：̃()̃()𝑒𝑖∫𝜌𝜌∫𝑠(𝜌𝑠𝜑)𝜑下面证明：∫(𝜌𝑠𝜑)𝜑(𝜌)令𝑦∫(𝑥𝑠𝜑)𝜑，即𝑥𝜌,则𝑦∫−𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑠𝜑)𝜑𝑦∫−𝑠𝜑𝑠(𝑥𝑠𝜑)𝜑代入方程𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦，得到：∫𝑥𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠(𝑥𝑠𝜑)−𝑥𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑠𝜑)𝜑−𝑥𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑠𝜑)|故𝑦满足0阶𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙方程，其解的形式应该为：𝑦(𝑥)(𝑥)此时，𝑥𝜌，当𝑥时，𝑦∫𝜑，因为()，𝑙𝑖(𝑥)，所以，。所以：𝑦(𝑥)，𝑥𝜌则̃()̃()𝑒𝑖∫𝜌𝜌∫𝑠(𝜌𝑠𝜑)𝜑̃()∫𝜌(𝜌)𝜌在这里用Bessel函数的递推公式：()𝑛()−()《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例8/23在上式中不妨取𝑥𝜌，则̃()̃()𝑒𝑖∫𝑥(𝑥)𝑥()̃()𝑒𝑖∫𝑥(𝑥)𝑥()̃()𝑒𝑖∫𝑥((𝑥)𝑥(𝑥)𝑥)𝑥()̃()𝑒𝑖(𝑥(𝑥)|)̃()𝑒𝑖()其中𝑠𝑖𝑛，𝜆为波数，为光源到前波面的距离，为场点相对于次波面元的方向角。则得到夫琅禾费圆孔衍射点光强公式为()()，为时（中心）的光强，即。五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导：1，中央亮斑，同心圆环,明暗交错,不等间距：由光强公式在Mathematics上作得图样为：《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例9/23当光强为零时，出现暗纹；反之，则是明纹；《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例10/23所以可以看出，其衍射图样在中心为一亮圆斑，外侧为明暗相间的环状条纹。2，光强分布前三个最大和最小的位置及相对光强度项目𝑥𝑟𝑠𝑖𝑛𝑥相对光强度第一级大001第一级小3.83274𝑟𝑠𝑖𝑛𝑥0第二级大5.08938𝑟𝑠𝑖𝑛0.0174第二极小7.01203𝑟𝑠𝑖𝑛0第三极大8.37549𝑟𝑠𝑖𝑛0.0041第三极小10.1725𝑟𝑠𝑖𝑛0被第一极小（暗纹）所包围的中央亮斑为爱里斑，衍射光的弥散程度可以用爱里斑半径的张角表示，由于当很小时，𝑠𝑖𝑛，所以有艾里斑的角半径𝜆其中，是入射光的波长，为衍射屏上的圆孔直径。令()；即第一条暗纹出现的位置。可解得：=3.83171《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例11/23于是得到艾里斑半角宽度公式𝜆𝜆3.各亮纹光强能量分布：在半径为𝑟~𝑟𝑟、面积为𝑟𝑟的环带内的能量正比于(𝑟)𝑟𝑟;半径为𝑟的圆内的相对光能为通过积分，容易求得上述的能量分布表达式。六，弗朗禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导：《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例12/23𝐴𝐵表示半径为的圆孔，设平行光垂直于圆孔的平面入射时，现在来计算光通过该孔后的夫琅禾费衍射，先讨论圆孔形波阵面沿着与法线成角方向传播的所有次波在观察点叠加所产生的振动的振幅，在圆孔边缘𝐴附近处的波阵面𝑠在考察点引起的振动，由惠更斯－菲涅尔原理有𝑦𝐴𝐴𝑠(𝑤𝑡−𝑟)式中，为𝐴点到点的距离，𝜆.圆孔波阵面上任一面元，它在点引起的振动可以写成𝑦𝐴𝑠𝑤𝑡−(𝑟𝛿)式中，𝛿为该面元与𝐴点的面元到𝐴点的光程差，即该面元在直径𝐴𝐵上的投影点𝐶与𝐴在方向的光程差，由图可得此值为𝛿(𝜌𝑠𝜑)𝑠𝑖𝑛式中，𝜌为该面元到圆孔中心的距离；𝜑为该面元的半径对𝐴𝐵的夹角𝜌𝜑𝜌《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例13/23故𝑦𝐴𝑤𝑡−(𝑟(𝜌𝑠𝜑)𝑠𝑖𝑛)𝜌𝜑𝜌𝐴(𝑟(𝜌𝑠𝜑)𝑠𝑖𝑛)−𝑤𝑡𝜌𝜑𝜌用复数表达则为𝑦𝐴𝜌𝜑𝜌𝑒𝑖(+𝑖)−𝑤𝑡𝑒𝑖𝑖将圆孔波阵面上所有面元在点的作用叠加起来，可得到点的振动为𝑦∫𝑦𝑆∫∫𝐴𝜌𝑒𝑖(+𝑖)−𝑤𝑡𝑒𝑖𝑖𝜑𝜌𝐴𝑒𝑖(+𝑖)−𝑤𝑡∫∫𝜌𝑒𝑖𝑖𝜑𝜌由此可知，所考察点的和振幅𝐴决定于上式的积分部分，记为𝐴𝑝𝐴𝑝𝐴∫∫𝜌𝑒𝑖𝑖𝜑𝜌将其中的𝑒𝑖𝑖用贝塞尔函数展开有：𝑒𝑖𝑖(𝜌𝑠𝑖𝑛)∑𝑖(𝜌𝑠𝑖𝑛)∞=𝑠𝑛𝜑代入原方程有𝐴𝑝𝐴∫∫𝜌[(𝜌𝑠𝑖𝑛)∑𝑖(𝜌𝑠𝑖𝑛)∞=𝑠𝑛𝜑]𝜑𝜌第二项由于存在∫𝑠𝑛𝜑𝜑，故积分为0，因此𝐴𝑝𝐴∫∫𝜌(𝜌𝑠𝑖𝑛)𝜑𝜌《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例14/23𝐴∫𝜌(𝜌𝑠𝑖𝑛)𝜌将其中的零阶贝塞尔函数展开有(𝜌𝑠𝑖𝑛)∑(−)(𝑛!)∞=(𝜌𝑠𝑖𝑛)代入可得𝐴𝑝𝐴∫𝜌∑(−)(𝑛!)∞=(𝜌𝑠𝑖𝑛)𝜌𝐴∫∑(−)(𝑛!)∞=(𝑠𝑖𝑛)𝜌+𝜌𝐴∑(−)(𝑛!)∞=(𝑠𝑖𝑛)𝑛𝜌+|𝐴∑(−)(!)∞=(𝑖)+𝐴𝑠𝑖𝑛∑(−)(𝑛!)∞=()𝑛(𝑠𝑖𝑛)+𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛)最后得到点的光强公式为𝐴[(𝑠𝑖𝑛)𝑠𝑖𝑛]令𝑥𝑠𝑖𝑛，得到𝐴[(𝑥)𝑥]这里得到的结果与之前的结果一致，殊途同归！Section2．Bessel函数在通信电路中的应用《复变函数与数理方程》ProjectBessel函数应用例15/23在第一部分我们讨论了bessel函数在光学衍射中的应用。同时，结合电子专业的实际，我们又研究了在通信电路中信号调频时贝塞尔函数的应用情况。一，单音信号的调频由贝塞尔函数的渐进公式，当z0时：J(z)~√𝑧(𝑧−4−𝑛∙),z-对于单音信号:𝑣(𝑡)𝑉ΩΩ𝑡;调制出的瞬时频率为:𝜔𝐹(𝑡)𝜔𝐹𝑀𝑣(𝑡)𝜔𝐹𝑀𝑉ΩΩ𝑡𝜔Δ𝜔Ω𝑡其中，Δ𝜔𝐹𝑀𝑉Ω为最大频偏。对频率积分可得调频波的相位为：𝜑𝐹(𝑡)∫𝜔𝐹(𝑡)𝑡𝑡𝜑𝜔𝑡Δ𝜔ΩΩ𝑡𝜑其中，定义调制指数：𝐹Δ𝜔ΩΔ则得到单音调频波的公式：𝑣𝐹𝑀(𝑡)𝑉(𝜔𝑡𝐹Ω𝑡𝜑)复数形式表示单音调频波