环状涂色问题经验很好的总结

（克山一中）授课教师：陆玉平中国行政地图中国行政地图给山东，河南，安徽，江苏四个地区涂色，相邻区域涂不同颜色，现有四种不同颜色可供使用，共有——种不同涂法。问题84圆被分成了2。3、4、5、6个扇形区域的图形,如下：（图B）（图C)（图D）（图E）图A，按要求显然有4×3=12种涂色方案。图C，用间接法求解，假设4区域涂法依次为4、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图A的情形）故有种涂色方案。3432484以上图形各区域可选四种不同颜色涂色，要求相邻涂不同颜色1.观察分析(图A)图B,显然有4×3×2=4×32-12=24种涂色方案。对图D，类似于图C的解法，假设5个区域涂法依次为4、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图C的情形）。故有44384240种涂色方案。对图E，类似于图D的解法，假设6区域涂法依次为4、3、3、3、3、3种，则需减去首尾两区域涂相同颜色的情形（相当于图D的情形）。种涂色方案。故有732240345（图B）（图C）（图D）（图E）(图A)如果n个区域有四种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法?)3(n113)13(nna1133nnna1134nnnaa2.猜想递推公式a2=3324×3＝（3+1）×3＝a3=)33(33223333a4=33433a)33(33334334a5=a6=)33(33445335)33(3355633622333a3.猜想归纳通项annnna33)1((n≥2)所以如果n个不同区域有m种颜色可供选用，那么有多少种不同的涂法?由1134nnnaa1133nnna(n≥3)记为图2MnM6M5M4M3M2M1P4.归纳结论：相连构成n个三角形，2MnM1M、、、，现取种颜色对这n个三角形涂色，每相邻的两个三角形的涂色不同，试求涂色的方案有多少种？如图2，已知p是n(n≥3)边形内的一点，它与n个顶点m（m≥4）故得递推公式为:11)1(nnnamma)3(nnnnmma)1()1()1((n≥2，m≥4)通项：在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图）要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有5种不同的植物可供选择，则栽种方案有______种。ABCDEFP4100结论应用：1解:因为n=6,m=5由公式得nnnmma)1()1()1(66)15()15()1(644=4100应用2.（2008年全国）如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要在每块花坛里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为（）A、96B、84C、60D、48ADBCB如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法有____种。12345变式应用：12543172(2003年高考题)解:首先涂1区域有4种,再涂2,3,4,5区域还有3种颜色涂,可抽象如图.所以涂色总数:72)4^22(4])13()13()1[(4442.(2003年全国高考——新课程卷·理工第15题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）120引申练习：1（2005年潍坊模拟）将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使一条棱的两个端点异色，如果有5种不同的颜色可选用，问有多少种不同的染色方法______种。PADBC420练习2：将5种颜色染n棱锥的顶点，每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色。如果过有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是__________________an=5[3n+(-1)n×3]3.将m(m≥4)种颜色染n(n≥3)棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色。如果只有n种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=_____________________m[(m-2)n+(-1)n(m-2)]4.将一个四棱锥的每一个面染一种颜色，并使相邻两面涂异色，如果有5种不同的颜色可选用，问有______种不同的染色方法。420知识总结：(n≥2，m≥3)nnnmma)1()1()1(1.环状涂色问题涂法总数公式:(其中n为不同区域数,m为不同颜色数)])2()2()1[(nnnmmma(n≥3，m≥4)2.用m不同颜色涂n棱锥的顶点涂法总数公式:课后作业:（2003年全国高考题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有6种颜色可供选择，则不同的着色方法有____种。123451560作业:(2003年全国高考——新课程卷·理工第15题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）,现要栽种5种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____种．（以数字作答）3660