专题二第2讲三角恒等变换与解三角形

专题二三角函数与平面向量．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A.6425B.4825C．1D.1625解析：tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.答案：A．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6解析：因为b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝2b2－2b2（1－sinA）2b2，则cosA＝sinA.在△ABC中，A＝π4.答案：C．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝2sinCsinA＋π4＝0，≠0，所以sinA＋π4＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋π4＝π，所以A＝3π4.由正弦定理asinA＝csinC，＝2sinC，则sinC＝12，得C＝π6.答案：B．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()(导学号54850031)A.31010B.1010C．－1010D．－31010解析：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由题意得S△ABC＝12a·13a＝12acsinB．所以c＝23a.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋29a2－2×a×23a×22＝59a2.所以b＝53a.＝b2＋c2－a22bc＝59a2＋29a2－a22×53a×23a＝－1010.答案：C【命题透视】三角函数的化简与求值是命题的热点，其中两角和与差、二倍角的正(余)弦、正切公式，同角三角函数的关系是恒等变换的依据．正弦定理、余弦定理是高考的重点内容，主要考查边和角、面积的计算、三角形形状的判定．高考命题中，选择、填空及解答题均可能呈现，不超过中等难度．．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.3．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.[例1](1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________．(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为1213，－513，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则3cos2α2－sinα2·cosα2－32的值为________．解析：(1)由题意，得cosθ＋π4＝45.所以tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝sinθ＋π4－π2cosθ＋π4－π2＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－43.(2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，所以sin∠AOB＝sinπ3－α＝513，－sinα2cosα2－32＝3·1＋cosα2－sinα2－32＝－12sinα＋32cosα＝sinπ3－α＝513.答案：(1)－43(2)513[规律方法]1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值．2．解决条件求值问题的三个关注点：(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[变式训练](1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则cos(α-β)＝________．(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β的值为________．解析：(1)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以β＝π－α＋2kπ.所以cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－1－2×19＝－79.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π，(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4＜α－2β＜π2，所以cos(α－2β)＝17.(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.答案：(1)－79(2)π3正弦定理与余弦定理(多维探究)1．正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(其中R是外接圆的半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.3．三角形的面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.三角形中边、角与面积计算(典例迁移)[例2－1](2017·广州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(导学号54850032)(1)求B的大小；(2)若a＋c＝332，b＝3，求△ABC的面积．解：(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1，得2cosAcosCsinAsinCcosAcosC－1＝1，所以2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－12，所以cosB＝－cos(A＋C)＝12，又0＜B＜π，所以B＝π3.(2)由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝12，所以（a＋c）2－2ac－b22ac＝12，又a＋c＝332，b＝3，所以274－2ac－3＝ac，即ac＝54，所以S△ABC＝12acsinB＝12×54×32＝5316.[互动迁移1]若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝332”，试求a＋c的值．解：由已知S△ABC＝12acsinB＝332，所以12ac×32＝332，则ac＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝21.[互动迁移2]在本例条件下，若b＝3，求△ABC面积的最大值．解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，则3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝3时取等号)．△ABC＝12acsinB≤12×3×sinπ3＝334.故△ABC面积的最大值为334.[规律方法]1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．[变式训练](2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝1517.(2)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4.所以b＝2.应用正、余弦定理解决实际问题[例2－2]某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A．210(6＋2)米B．1406米C．2102米D．20(6－2)米解析：由题意，设AC＝x，则BC＝x－40，在△ABC内，由余弦定理，可得|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理，可得|CH|sin∠CAH＝|AC|sin∠AHC.即|CH|＝|AC|·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米)．答案：B[规律方法]1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．