专题五 第1讲 空间向量与空间几何体

第1讲空间几何体1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD．1＋26π答案C解析由三视图知，半球的半径R＝22，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝13×1×1×1＋12×43π×223＝13＋26π，故选C.2．(2016·课标全国丙)在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB.9π2C．6πD.32π3答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为9π2.3．在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D．2π答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－13·π·CE2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝5，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析设直线AC与BD′所成角为θ，平面ACD翻折的角度为α，设点O是AC的中点，由已知得AC＝6，如图，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由A0，62，0，B302，0，0，C0，－62，0，作DH⊥AC于点H，翻折过程中，D′H始终与AC垂直，CH＝CD2CA＝16＝66，则OH＝63，DH＝1×56＝306，因此可设D′－306cosα，－63，306sinα，则BD′——→＝－306cosα－302，－63，306sinα，与CA→平行的单位向量为n＝(0,1,0)，所以cosθ＝|cos〈BD′——→，n〉|＝BD′——→·n|BD′——→|·|n|＝639＋5cosα，所以cosα＝－1时，cosθ取最大值66.1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1(1)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案(1)C(2)D解析(1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．跟踪演练1(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案(1)D(2)B解析(1)由俯视图，易知答案为D.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2(1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16B.13C.12D．1(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为()A．66B．68C．70D．72答案(1)A(2)A解析(1)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h＝1，又底面积S＝12×1×1＝12.所以体积V＝13Sh＝16.(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案452解析由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF(置于长方体ABCD—MNFG中去观察)，且点E为DG的中点，可得AB＝BC＝GE＝DE＝3，连接AG，所以多面体ABCDEF的体积为V多面体ABCDEF＝V三棱柱ADG—BCF－V三棱锥A—GEF＝12×(3＋3)×3×3－13×(12×3×3)×3＝452.热点三多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3(1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．64π(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3答案(1)C(2)A解析(1)在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝3，SA＝23为长、宽、高的长方体，∴球O的直径＝12＋32＋232＝4，故球O的表面积为4π×22＝16π.(2)过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为Rcm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4cm，OB＝Rcm，由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，∴V球＝43πR3＝5003π(cm3)．故选A.思维升华三棱锥P－ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A、B、C可作为下底面的三个顶点；(2)P－ABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．答案6π解析如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．据题意AB·AC＝2，AC·AD＝3，AB·AD＝6，解得AB＝2，AC＝1，AD＝3，∴长方体的体对角线长为AB2＋AC2＋AD2＝6，∴三棱锥外接球的半径为62.∴三棱锥外接球的体积为V＝43π·(62)3＝6π.1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A．16B．82＋8C．22＋26＋8D．42＋46＋8押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积．答案D解析由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BC⊥PC，BA⊥PA，又PC＝PD2＋CD2＝22＋222＝23，所以S△PCD＝S△PAD＝12×2×22＝22，S△PAB＝S△PBC＝12×22×23＝26.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝22，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π押题依据多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点．答案B解析因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理，SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝22，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注．答案423解析如图所示，设圆柱的底面半径为r，则圆柱的侧面积为S＝2πr×21－r2＝4πr1－r2≤4π×r2＋1－r22＝2π(当且仅当r2＝1－r2，即r＝22时取等号)．所以当r＝22时，V球V圆柱＝4π3×13π222×2＝423.A组专题通关1．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析由所截几何体可知，FC1被平面AD1E遮挡，可得B图．2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为()A．2B.23C.43D.83答案D解析多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－43＝83，选D.3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为()A．8－2πB．8－πC．8－π2D．8－π4答案B解析由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V＝(22－2×14×π×12)×2＝8－π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20