2.5等比数列的前n项和公式(1)

§2.5等比数列的前n项和复习:等比数列{an}an+1an=q(定值)(1)等比数列:(2)通项公式:an=a1•qn-1(4)重要性质:n-man=am•qm+n=p+qan•aq•am=ap注:以上m,n,p,q均为自然数成等比数列(3)bGa,,)0(,2ababG).0,0(1qa这一格的麦粒可以堆成好几座山!!!12223242632632分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是:,2,,2,2,2,16332一、创设情境，引出问题于是发明者要求的麦粒总数就是去求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和.即求：二、启发引导，探索发现.228421636264S两边同乘公比２，得.22168422646364S将上面两式列在一起，进行比较,284216364S.228426463642S①②②－①，得：126464S说明：超过了1.84,假定千粒麦子的质量为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，目前世界小麦年度总产量约为6亿吨，所以国王不能满足发明者的要求.12641910思考:已知等比数列{an}其公比为q,怎样求其前n项和Sn=a1+a2+…+an?分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：如果将等式①两边同乘q，则得到一个新的等式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn—1①qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②+a1qn—1①-②得:(1-q)Sn=a1-a1qnSn-qSn=a1-a1qnqqan111Sn=qqaan1-11⑴当q≠1时Sn=na1⑵当q=1时)1()1(1)1(11qnaqqqaSnn三、总结升华，得出结论等比数列的前n项和公式或当q≠1时qqaaSnn1-11qqqaan1111)1(-1-1≠=qqqaaSnn即an=a1qn-1注：1.以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”.2.当公比q不确定时应分q=1和q≠1两种情况讨论.例1.求等比数列的前8项和.,81,41,21四、知识训练，深化目标21,211==qa解:(1)因为256255211211218nS所以当n=8时有等比数列的前n项和知：例1、求下列等比数列前8项的和,81,41,21)1(0,2431,27)2(91qaa:,2431,2791可得由aa)2(8272431q可得：又由,0q31q时于是当8n811640)31(1311278nS:a2n量中，求满足下列条件的、在等比数列例nnsaanq和求.21,5,2)2(1nqsaann和求.314,512,1)3(1nsaa求,2)1(31解：21,5,2)2(1anq得：代入qqasqaannnn11,11182214415qaa2311221212121555s可得代入将qqaannnnSSaa111341,512,21)3(2.1)512(1341qqq解得：10)2(1512,111nqaannn解得：所以因为112)1(231qqaa即nnaSqn222211，所以，，，时，数列为常数列当nqqannnSq)1(11)1(1])1(1[21)1(1时，当说明：选择适当的公式。并且要根据具体题意，中，只知三可求二，在五个变量nnSanqa,,,,1２.１.作为第一要素来考虑。的取值，应把它意在利用公式，一定要注q？台（结果保留到个位）可使总销售量达到几年，那么从今年起，大约比上一年的销售量增加售量台，如果平均每年的销某商场今年销售计算机30000%105000：例3解：30000,1.1%)101(,50001nSqa数列，每年的销售量成等比由题意可知，从今年起值。的，求满足比数列分析：本例相当于在等nSann300001.11)1.11(500030000n由公式得：6.11.1n整理得,6.1lg1.1lgn两边取对数，得5041.02.06.1lg1.1lgn用计算器算得台。年可使总销售量达到答：从今年起，大约300005?n,,,,1132nsxxx项和的前、求等比数列xqa,11解：由已知条件得，nSxxnn11所以)1()1(xxxxxxnnnS111)1(1时，当1xnnaSn1时，当1x五、课堂演练，巩固提高(1).内容总结：错位相减法(2).方法总结：(3).体现的数学思想：六.归纳总结①等比数列的前n项和公式及其推导.②在已知五个中的三个会能灵活运用公式求其他俩个.nnsqnaa、、、、1分类讨论的思想.（）方程的思想.（知三求二）11qq或复习等比数列的前n项和公式。，111111q-qqaaqnaSnn。，11111q-qqaaqnaSnn或等比数列前n项和的性质一：-qqaaSnn111-qaq-qaSnn1111011-qaA令AAqSnn-则：这个形式和等比数列等价吗？)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na类似结论：是等比数列数列}{na)1,0(AABBAaSnn相反数合作探究形成规律的值。，求项和的前、若等比数列aaSnannn2311}{61a的值。，求项和的前、若等比数列aaSnannn41}{1a)0(AAAqSnn-系数和常数互为相反数提示：aSnn2331化简到：0231a我们知道，等差数列有这样的性质：也成等差数列。则为等差数列如果kkkkknSSSSSa232,,，。公差为新的等差数列首项为dkSk2，等比数列前n项和的性质二：那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？也成等比数列。为等比数列如果kkkkknSSSSSa232,,，则。公比为新等比数列首项为kkqS，怎么证明？的值。求，，，若项和为的前、等比数列mmmnnSSSSna3230102}{703mS解得：成等比数列，，mmmmmSSSSS232--)()(2322mmmmmSSSSS--)30(10)1030(32--mS即：解：等比数列前n项和的性质三：：、任意，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS260。，则，，若项和为的前、等比数列3020108020}{2SSSSnann102020102030sqsss310102010sssq解：201010201030sqsss或qSS奇偶等比数列前n项和的性质四：怎么证明？项，则：共有若等比数列nan23、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的公比和项数？提示：285170奇偶SSq25585170奇偶SSSn项和公式得：由等比数列前n2121255-n8n)0(AAAqSnn-是等比数列数列}{na等比数列前n项和的性质：也成等比数列。为等比数列kkkkknSSSSSa232,,。公比为且新等比数列首项为kkqS，qSS奇偶：、，有对的等比数列为公比为如果NpmqanpmmpmSqSS项，则：共有若等比数列nan2①②③④