2.5等腰三角形的轴对称性

【情境引入】2.把等腰三角形沿顶角平分线折叠，你有何发现？ABCADB（C）ABCDD1.等腰三角形是轴对称图形吗？等腰三角形是轴对称图形，对称轴：顶角平分线所在直线.DCBA重合的线段重合的角DCBA找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.AB＝AC∠B＝∠CBD＝CD∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB＝∠ADC定理：等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角）ABC则有∠1＝∠2，D12在△ABD和△ACD中，证明：作顶角的平分线AD，AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）．已知:在△ABC中，AB＝AC求证：∠B＝∠C思考：你还可用什么方法证明上述定理？也可作底边上的高，用“HL”证明.作底边上的中线，用“SSS”证明.重合的线段重合的角DCBA找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.AB＝AC∠B＝∠CBD＝CD∠BAD＝∠CADAD＝AD∠ADB＝∠ADC定理：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.(三线合一）ABCD12CDBDBCADACABBCADCDBDACABBCADCDBDACAB,21,,21,,21,）（）（）（几何语言：321【操作尝试】用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a,高AD＝h.ha例1在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证:∠ADB＝∠BAC．DCBA试一试1.如图：△ABC中，AB=AC，AD=AE。试说明：BE=CDEDCBA2.如图,∠A=150,AB=BC=CD=DE=EF,则∠DEF等于()A.900B.750C.700D.600ABCDEFD3.已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.判断AO与BC的位置关系.OCBAAO垂直平分BC∵AB=AC,OB=OC∴点A,点O在BC的垂直平分线上∴AO垂直平分BC有两个角相等的三角形是等腰三角形.定理：等腰三角形的两个底角相等．已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．证明：作∠BAC的平分线AD．在△ABD和△ACD中，∠B=∠C(已知)，∠BAD=∠CAD(辅助线画法)，AD=AD(公共边)∴△ABD≌△ACD(SAS)．∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)．D定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。(等角对等边)在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC符号语言CBACEBAD例1.已知：如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O.⑴OB与OC相等吗?ABCOED⑵BD与CE相等吗?⑶如果将BD与CE变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?ABCDEO例3、如图，已知0B、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC，△ADE的周长为10，BC长为8，求△ABC的周长.1.△ABC中,∠A=80°,当∠C=______________时,△ABC是等腰三角形.80°或50°或20°2.如图,△ABC中,AB=AC,∠C=2∠A,BD平分∠ABC.请找出图中其他等腰三角形.ABCD△ABD、△BCD3.如图,AB=AD,∠ABC=∠ADC.BC与DC一定相等吗?为什么?ABCD连接BD∵AB=AD∴∠ABD=∠ADB又∠ABC=∠ADC∴∠DBC=∠BDC∴BC=DC4.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,PD∥AB,PE∥AC，则△PDE的周长是_____cmACBEDP探索发现思考3：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？BAC思考1：什么是等边三角形？思考2：等边三角形的性质有哪些？等边三角形的性质1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.2.等边三角形的三条边相等3.等边三角形的各角都等于60°等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个内角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.例1：已知：如图，等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证（1）AD=BE；．（2）求∠BPD的度数；（3）BP=2PQ．1.任意剪出一张直角三角形纸片(如图1)2.剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状?3.把纸片展开(如图4),你有什么发现?(3)(2)(1)ABCD(4)定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．几何语言：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB．DCBA21如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°求证:12CDABBACD┌若∠A＝30°，那么BC与AB有怎样的数量关系？如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，如果21BC＝AB．．例1：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD＝MB；（2）MN⊥BD．1.在Rt△ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E.(1)若CD=2cm，则AB=_____cm．(2)写出图中相等的线段和角.BACDE┑┑2.如图在△ABC中,M,N分别是BC与EF的中点,CF⊥AB,BE⊥AC,证明：MN⊥EF.ABCFENMABCDE3.如图,在△ABC中，∠C=900，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证:DE=2AB.F