误差理论与数据处理-第二章.part2

开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（[e-mail]）李岩（liyan@.thinghua.edu.cn）误差理论与数据处理清华大学本科生选修课课号：00130172第2页数学期望（均值）•定义：设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分绝对收敛，则称上述积分值为随机变量X的数学期望，记为E(X)•数学期望的性质–设C是常数，则有：E(C)=C–设X是一个随机变量，C是常数，则有：E(CX)=CE(X)–设X，Y是两个随机变量，则有：E(X+Y)=E(X)+E(Y)–设X，Y是相互独立的随机变量，则有：E(XY)=E(X)E(Y)xfxdxEXxfxdx第3页方差•定义设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X-E(X)]2}为X的方差，即为D(X)或者Var(X)，记：•D(X)的计算：•随机变量X的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度，是衡量X取值分散程度的一个标尺。–若D(X)较小，则说明X的取值比较集中；–若D(X)较大，则说明X的取值比较分散。2DXVarXEXEX22DXEXEX第4页方差•方差的性质–设C是常数，则有：D(C)=0;–设X是随机变量，C是常数，则有：D(CX)=C2D(X);–设X，Y是两个随机变量，则有：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别的，若X，Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)•标准差（均方差）–方差的平方根值称为标准差或均方差，标准差与随机变量X具有相同的量纲，记：XDX第5页标准偏差在等精度的测量列中，即同一条件下所得一系列测值中，各随机误差平方和平均值的平方根，即2222121nininn（2－5）存在问题：因其中的表示“真差”（即实际测得值与真值之差），而因为在一般情况下真值未知，所以不能直接按定义求出值。上述定义只是数学理论意义上的定义，无法利用上式来计算单次测量的标准偏差。单次测量的标准偏差第6页单次测量的实验标准[偏]差在实际测量中，只能用残余误差vi计算出标准偏差的估计值，称为单次测量的实验标准[偏]差，用s或s表示。如何由实际测量值的残余误差vi求s或s呢？0iilL由可得1102200()()nnlxxLlxxLlxxL1122xxnnxvvv（2－6）单次测量的实验标准[偏]差第7页1122xxnnxvvv11110)nnniixniixiiiivnnv(故：（2－7）各式相加得将上式（2－6式）中各等式平方后相加：1222221111212112228nnnniixxiixiiiinnijijnniiiiiixxvnvvnnnnnn2（－）而，＝=单次测量的实验标准[偏]差第8页当n适当大时，可认为10nijij2122222111)2nijniixnniiiixijnnnnn前式为：＝故：(定义：＝代入式（2－8）有22211222128nniixiiniivnnv（－）即：(2-9)单次测量的实验标准[偏]差第9页2221211niiniinvvn整理可得：（2－10）式称为贝塞尔（Bessel）公式根据它可由算术平均值的残余误差求得单次测量的实验标准偏差。问题讨论：贝塞尔（Bessel）公式是否只适用于正态分布?（2－10）（2－9）单次测量的实验标准[偏]差说明：通常用表示标准偏差（定义式、理论公式）而用s或s表示单次测量的实验标准偏差（Bessel公式）第10页用游标卡尺测某一尺寸10次，数据见表（设无系统和粗大误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。测序li/mmvi/mmvi2/mm2175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.00122575.045xmm1010iiv1012200825.0iimmv实例第11页2175.0450.008250.03031101niislmmvmmn可得课堂问题讨论：利用贝赛尔公式求出的实验标准差是上述10个测值的测量组中单次测量的实验标准差。这如何理解？实例75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08这10个测值是等精度测量，每一个测值的实验标准差都是0.0303mm。第12页单次测值的实验标准差在数据处理中的意义1）可比较不同测量组的测量可靠性例：对同一被测量进行了两组测量（如由两人），其数据是：1211.21.11.20.60.70.60.90.3021.11.01.20.60.70.80.90.24xx第组：第：组测量结果一样，哪个测量者的测量水平高、测值更可靠？2）当用单次测量值作为测量结果时，可反映单次测量测量结果的可靠性问题：何时会用单次测量值作为测量结果？第13页说明：（1）单次测量的实验标准偏差s并非只测量一次就能得到的。对于一定的测量方法或量仪，必须通过多次测试才能获得。（即所谓“用统计方法得出”）（2）一旦得出了s值，在今后使用该量仪或测量方法时，s便为已知值，便能对单次测量给出测量不确定度。（3）在有的仪器说明书里或手册表格中往往也给出了s值。此时，在测量过程中便可直接引用，而不必自己去求出。需进一步研究的问题：我们已可求出单次测量的实验标准偏差s，那么，多个测值的算术平均值的实验标准差又怎样计算？单次测值的实验标准差在数据处理中的意义第14页多次测量中我们以算术平均值作为最终的测量结果，但算术平均值并不等于真值，各个测列的算术平均值围绕着被测量的真值有一定的分散。算术平均值的标准差用于表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数，是算术平均值不可靠性的评定标准121ninillllxnn算术平均值的实验标准差如何求得？从定义出发（求算术平均值的方差）00xxxll(---算术平均值的真误差）(---真值）算术平均值：算术平均值的误差：第15页221()()()()(1)niiXXsxsxsxnnnn上式表明，在一定的测量条件下（即一定），重复测量n次所得的算术平均值，其实验标准偏差是单次测量的实验标准偏差的1/n，也就是说n越大，算术平均值的实验标准偏差就越小。nsx（2－11）（2－12）算术平均值的实验标准差212122...()1...nxnxxxDxDnDxxxn独立测量列-》随机变量相互独立；且isDx221221...sxnDxDxDxnn或第16页算术平均值的实验标准差与测量次数n的平方根成反比，因此要减小随机因素的影响，可适当增加测量次数；但是，当n大于10以后，其减小已很缓慢；此外，由于测量次数越大，恒定的测量条件越难以保证，以致引起新的误差。因此一般情况下，取10≤n≤15的测量次数为宜。算术平均值的实验标准差第17页用游标卡尺测某一尺寸10次，数据见表（设无系统和粗大误差），求算术平均值的实验标准差。测序li/mmvi/mmvi2/mm2175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.00122575.045xmm1010iiv1012200825.0iimmv实例第18页mmnmmnvmmlslniis0096.0100303.00303.011000825.01045.7512可得课堂问题讨论：单次测值的实验标准（偏）差和算术平均值的实验标准（偏）差在意义、使用场合上有何区别？请务必注意：在实验数据处理过程中，一定要注意区分单次测值的实验标准（偏）差和算术平均值的实验标准（偏）差的不同的使用场合。实例第19页被测量的估计值常用算数平均值表示，若落于T1和T2之间的概率为XX12()(1)PTXTpp且令那么T1和T2之间的区间称为双侧的概率为p的置信区间；称为置信水平(levelofconfidence）,（也叫置信度、置信水准、置信概率等。）α称为显著性水平或显著度。X1p置信区间测量误差的置信区间第20页正态分布概率密度函数为：22221ey随机变量δ落在某一区间的概率：2221()2baPabed测量误差的置信区间通常说积分区间为－Zσ＜δ≤＋Zσ22222012()2()22zzPededZZ,,ZddZZ变量变换第21页22222012()2()22zzPededZZ上式中φ（Z）称为正态分布概率积分。不同Z值的φ（Z）可由正态分布积分表中查得。使用方法:例如要计算测量值落在某一区间的概率：P（－3σ＜δ≤＋3σ）＝2φ（3）＝2×0.49865=0.9973=99.73%测量误差的置信区间第22页标准正态分布函数表2201()2zzzedtzΦ(z)zΦ(z)zΦ(z)zΦ(z)0.000.00000.750.27341.500.43322.500.49380.050.01990.800.28811.550.43942.600.49530.100.03980.850.30231.600.44522.700.49650.150.05960.900.31591.650.45052.800.49740.200.07930.950.32891.700.45542.900.49810.250.09871.000.34131.750.45993.000.498650.300.11791.050.35311.800.46413.200.499310.350.13681.100.36431.850.46783.400.499660.400.15541.150.37491.900.47133.600.4998410.450.17361.200.38491.950.47443.800.4999280.500.19151.250.39442.000.47724.000.4999680.550.20881.300.40322.100.48214.500.4999970.600.22571.350.41152.200.48615.000.49999990.650.24221.400.41922.300.48930.700.25801.450.42652.400.4918（教材附录排版不对）测量误差的置信区间第23页以算术平均值为对称轴的正态分布的概率积分：由于实际测量时得不到真差，而以足够多次测量的算术平均值作为被