误差理论与数据处理-第二章.part3

开课单位：精密仪器与机械学系任课教师：尉昊赟（[e-mail]）李岩（liyan@.thinghua.edu.cn）误差理论与数据处理清华大学本科生选修课课号：00130172第2页正态分布概率密度函数为：22221ey随机误差的其他常见分布数学期望（均值）：方差：1σ置信度：()0E220.6826p第3页1.均匀分布数学期望（均值）：方差：1σ置信度：1,2()0,aafa均匀分布概率密度函数图服从均匀分布的可能情形：1）数据切尾引起的舍入误差；2）数字显示末位的截断误差；3）瞄准误差；4）数字仪器的量化误差；5）齿轮回程所产生的误差；6）……随机误差的其他常见分布()0E22/3a1/30.577p第4页2.三角分布22,0(),00,aaaafaaaa或若随机变量ξ1，ξ2都是在[-a/2,a/2]区间呈均匀分布，且相互独立，则η（η＝ξ1＋ξ2）的概率密度为随机误差的其他常见分布数学期望：方差：1σ置信度：()0E22/6a261/60.650p服从三角分布的可能情形：1）两次测量过程数据凑整误差；2）两次调零不准引起的误差；3）……第5页3.梯形分布,41,()2,40,baxbaxbaabbaxbafxbbaxbaxbaabxbaxba或若随机变量ξ1[-a,a]区间呈均匀分布，随机变量ξ2在[-b,b]区间呈均匀分布，且ξ1和ξ2相互独立，则η（η＝ξ1＋ξ2）的概率密度为课堂问题讨论：无限多个矩形分布的叠加是何分布？随机误差的其他常见分布第6页4.反正弦分布221,()0,xaaxfxxa可表示为ξ～As[-a,a]可以证明，如果ξ～U[0，2π]则asin(ξ+φ0)～As[-a,a]随机误差的其他常见分布数学期望：方差：1σ置信度：()0E22/2a1/20.50p服从反正弦分布的可能情形：1）度盘偏心引起的测角误差；2）正弦（余弦）振动引起的位移误差；3）电子测量中谐振的振幅误差；4）……-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.511.522.5第二章误差的基本性质与处理第一节概率、随机误差第二节系统误差第三节粗大误差•定义–在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值减被测量的真值。（GUMB2.22条）•特点–系统误差是固定不变或按一定规律变化的误差。–“同随机误差一样，系统误差也是不可能被消除的，但通常也可以被减小。”（GUM3.2.3条）•产生原因–测量装置、测量方法、测量环境、测量人员……•基本措施–设法发现,并予以一定的补偿。第8页系统误差定义及其分类第9页系统误差的分类1．定值系统误差在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，误差的绝对值和正负符号恒定不变，这种误差就叫作定值系统误差。如刻度尺不准确，千分尺未校准零位，都将对测量结果引入定值系统误差。课堂问题讨论：1、图中（鼓包形）曲线是什么意思？2：如图所示情况，定值系统误差为正还是为负？系统误差定义及其分类第10页2．变值系统误差在多次重复测量同一量值时，由于在测量过程中，测量条件有变化，而使误差的绝对值和正负符号按一定规律化的误差，叫作变值系统误差。它又分为以下几种类型：（1）线性变化系统误差误差（或被测量值）随测量过程时间的延伸而呈线性递增或递减。如测量过程中温度呈线性化引起的误差；刻度均匀地增大所引起的误差。系统误差定义及其分类第11页（2）周期误差误差按周期规律变化，最常见的为正弦周期误差。如千分表指针轴与刻度盘有偏心；测量机构中大多数齿轮传动引起的误差，都是正弦周期误差。度盘偏心引起的周期误差系统误差定义及其分类第12页（3）复杂系统误差误差的变化规律比较复杂。如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值误差。这类误差可用实测经验曲线来表示。系统误差定义及其分类各种特征的系统误差a）定值系统误差b）线性系统误差c）非线性系统误差d）周期系统误差e）复杂系统误差第13页按对系统误差的掌握程度划分：（1）已定系统误差指误差的大小和符号均已确切的掌握的系统误差；该类误差在处理和表征时，是属于可以修正的系统误差。（2）未定系统误差指误差的大小和符合不能完全确切掌握的系统误差；该类误差在处理和表征时，是属于不可修正的系统误差。系统误差定义及其分类第14页定值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值，对测得值的残差vi没有影响，即不影响随机误差的分布规律和精度参数。变值系统误差则不然，它既影响分布规律，也影响标准差σ等精度参数值。系统误差对测量结果的影响第15页1．对比检定法在确信没有明显变值系统误差，可以改用更好的测量条件（如改用更高精度的仪器或基准），进行检定性测量。并以检定性测量的结果作为约定真值，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的系统误差。该方法可同时得到该测量点的定值系统误差修正值，通过修正后可补偿和减少系统误差。系统误差的发现方法第16页2．算术平均值的差值与标准差比较法对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n1和n2次，得两组算术平均值：111nxxi222nxxj211111222222()()1()()1ijxxsxnnxxsxnn（）（）系统误差的发现方法其实验标准差分别为：第17页1211xxxtppxtxx位于区间的概率应为＝－，判别时选取一定的＝－，若，则可判别和间存在系统误差。算术平均值之差的标准差为：221212()()()()sxsxxsxsx由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其算术平均值的差值也服从正态分布，因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有定值系统误差，即：两组算术平均值之差为：12xxx＝课堂问题讨论：如何用图来表示上述判别原理？系统误差的发现方法第18页例1惰性气体（氩）的发现。雷莱（Rayleigh，多译为瑞利）测定氮气的密度。化学方法制得的氮，其平均密度和标准差分别为2.29971和0.00041；从大气中分离的氮，其平均密度和标准差分别为2.31022和0.00019系统误差的发现方法01051.029971.231022.2x00045.000019.000041.022x取置信概率=99.73%来判断，则故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系统误差的可能性很小，进一步仔细分析，结果发现了惰性气体（氩）的存在。30.00135xx第19页例2：在不同的条件下测某一尺寸第一组测得第二组测得1212x10.0236,0.2x10.0248,0.2xxmmmmmm试判断其间有无定值系统误差（已知无变值系统误差）。解：1210.023610.02480.00121.2xxmmm两次平均值之差的标准差为1122222(0.2)(0.2)0.3xxxm系统误差的发现方法按正态分布，如果取置信概率99％，则t＝2.58，故121.20.77xxxmtm2.580.30.77xtm故判断两组测值至少有一组有系统误差，应查找根源予以消除或修正。第20页3．变值系统误差的残差观察法（定性检验）课堂问题讨论：1）可否直接对测值进行观察来发现变值系统误差？2）可否直接对测值进行观察来发现定值系统误差？系统误差的发现方法残差散点图第21页4．残差核算法（1）前后分组核算法将测得值按测量先后顺序排列，将前后各半分为两组，设两组残差的代数和分别为Σvi前与Σvi后，若则可判断其中含有线性系统误差。因为含有线性系统误差的测量列，其测得值的算术平均值是在测量值顺序的中点附近，所以前后两组残差的代数和Σvi前与Σvi后，总是大小接近相等而符号相反（总和Σvi＝Σvi前＋Σvi后≈0）。建议：用此法时，最好与前面介绍的残差观察法相互配合来判断。系统误差的发现方法2nsvivi后前第22页（2）阿贝检验法（阿贝-赫梅特检验法）阿贝检验法的依据，也是检查测量列的残差是否符合正态分布规律。nvvv,,,2122221nvvvA2121232221)()()()(vvvvvvvvBnnnnAB112则可判断测量结果中含有变值系统误差，但类型不能判定。定义：若：系统误差的发现方法第23页补偿和减少系统误差的途径有以下3个方面：（1）从误差根源上消除；（2）设法掌握系统误差的具体大小数值，从测量结果中修正；（3）在测量过程中采取一定措施避免系统误差引入测量结果。注意：系统误差的消除，一般只能达到一定限度，而不能够完全消除。限度以外的微小误差已具有随机性，一般可采用随机误差的处理方法来估计其对测量结果的影响。系统误差的减小和补偿•消除系统误差源法–检查所用基、标准件（如量块、刻尺、光波波长等）是否准确；–检查所用测量仪器是否处于正常的工作状态；–在对仪器开机测量前，应检查仪器的调整、测件的安装定位和支撑装卡是否正确合理；–检查采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；–检查试样以及测量场所的环境条件是否符合规定要求；–注意避免测量人员带入主观误差。第24页系统误差的减小和补偿第25页1．定值系统误差的消除方法（1）对比检定法（修正值法）在确信没有明显变值系统误差，可以改用更好的测量条件（如改用更高精度的仪器或基准），进行检定性测量。并以检定性测量的结果作为约定真值，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的系统误差。可得到该测量点的定值系统误差修正值，也可检定多点而制成修正值表。通过修正后可补偿和减少系统误差，即可得到修正系统误差后的测量结果。系统误差的减小和补偿第26页例：用激光干涉仪鉴定（标定）传感器系统误差的减小和补偿第27页（2）抵消法（反向补偿法）系统误差的减小和补偿用工具显微镜测量螺纹螺距第28页实例：用工具显微镜测螺纹的螺距系统误差的减小和补偿第29页（3）标准量替代法在一定的测量条件下，对某一被测量值进行测量，使在仪器上得到某一种状态（如指针指示零件、电桥平衡、天平平衡等），再以同样性质的标准量值代替被测量值。课堂问题讨论：若可调电阻R3有系统误差怎么办？系统误差的减小和补偿第30页（4）交换法21lxPl12lxPl（1）（2）xPP课堂问题讨论：交换法能否消除因砝码不准确而引起的系统误差？系统误差的减小和补偿交换测量消除两臂不等的系统误差第31页2．线性系统误差的补偿减小方法——对称测量法线性系统误差一般多随时间呈线性变化，测量时测量顺序对称测量，可达到补偿减小线性系统误差的目的。图中：0——高准确度块规A，被检量块B测量次序：1-2-3-4-5,5-4-3-2-1,相同点两次测值相加。消除温度变化引起的线性系统误差注：短期内，很多系统误差均可认为具有线性规律，因此，有条件场合宜采用对称法消除系统误差。系统误差的减小和补偿第32页ππΔel2Δle3．周期系统误差的消除方法——半周期法仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心e引起的刻度示值，误差呈周期性变化，即误差sineL系统误差的减小和补偿第33页测角仪半周期法实例系统误差的减小和补偿第34页对径读数！半周期法实例系统误差的减小和补偿